Розділ 7. Явища перенесення

У

Рис. 7.1. Потік J через поверхню S

термодинамічно нерівноважній системі завжди виникають необоротні процеси, які називають явищами перенесення. До таких явищ належать дифузія (зумовлена перенесенням маси), теплопровідність (зумовлена перенесенням теплоти) і в’язкість (зумовлена перенесенням імпульсу). Виникають ці явища тільки тоді, коли в різних просторових точках середовища існує різниця (градієнт) густини, температури або швидкості молекул. Термодинамічна система за цих умов намагається перейти до рівноважного стану шляхом вирівнювання цих параметрів. Відповідні процеси супроводжуються виникненням у середовищі потоків молекул J, які переносять певну фізичну величину А у напрямі, протилежному до градієнта. У випадку дифузії А – це маса речови-ни; у разі теплопровідності – це кількість теплоти; у випадку в’язкості (внутрішнього тертя) – це імпульс.

Розглянемо детальніше процес перенесення в газі деякої фізичної величини А у напрямі осі Ох потоком J молекул у середовищі зі сталим градієнтом (рис. 7.1).

Молекули в потоці J перетинають площину S на відстані середньої довжини вільного пробігу l. Це достатньо мала величина, тому А в околі точки х можна виразити у вигляді

=A(x) (7.1)

обмежившись першим членом розкладу в ряд Тейлора.

Кількість молекул, які перетинають площу S за час t, рухаючись в додатному напрямку осі Ох, дорівнює . Потік J величини А уведемо як

. (7.2)

Зазначимо, що в газі існуватимуть два взаємно протилежні потоки вздовж Ох:

; (7.3)

. (7.4)

Підсумковий потік у додатному напрямі Ох:

. (7.5)

Рівняння (7.5) – це основне рівняння явищ перенесення.

7.1. Самодифузія і взаємна дифузія

Самодифузія – це явище перенесення в однорідному газі з односортних молекул за наявності градієнта концентрації n. Під час самодифузії величиною А, яка зазнає перенесення, є концентрація n, а саме А= n/n₀, де n₀ – рівноважна концентрація молекул у газі. Тоді на підставі (7.5) отримаємо рівняння Фіка для самодифузії

, (7.6)

де – коефіцієнт дифузії.

Якщо газове середовище містить два сорти молекул, які відрізняються між собою властивостями, то за умови р=const, T=const у газі простежуватиметься взаємна дифузія, під час якої виникнуть три молекулярні потоки: два дифузійні , і один гідродинамічний

де , і D₁D₂.

Гідродинамічний потік – це рух газу як цілого, зумовлений необхідністю підтримувати тиск газу сталим у всьому об’ємі. Тоді

За цих умов коефіцієнт взаємної дифузії для суміші газів

(7.7)

Формула (7.7) дещо незручна, оскільки потребує громіздких попередніх обчислень довжин вільного пробігу молекул, тому Дж. Максвел і Ц. Стефан для моделі молекул як твердих куль запропонували спрощений метод розрахунку D₁₂, згідно з яким

, (7.8)

де – середній радіус молекул суміші.

7.2. Теплопровідність

Явище перенесення енергії теплового руху молекул у середовищі за наявності градієнта температури називають теплопровідністю. За цих умов величиною А, яка зазнає перенесення, є теплота q, що припадає на одну молекулу. Для ідеального газу, згідно з теоремою Больцмана про рівноймовірність розподілу енергії молекули за ступенями вільності,

(7.9)

Отже, у рівнянні перенесення (7.5) А=q. Тоді потік теплоти

, (7.10)

або (7.11)

де – густина газу, – питома теплоємність газу за сталого об’єму, – коефіцієнт теплопровідності.

Рівняння (7.11) – це рівняння Фур’є для теплопровідності.

Коефіцієнт теплопровідності газів не залежить від тиску, однак збільшується з підвищенням температури, оскільки  .

7.3. В’язкість

В

Рис. 7.2. Виникнення градієнта швидкості

у потоці в’язкої рідини

’язкість, або внутрішнє тертя, у газах зумовлена переміщенням молекул, що мають різні імпульси, між шарами газу, які рухаються з різними швидкостями. Наприклад, якщо потік газу контактує з безмеж-ною нерухомою площиною і рухаєть-ся паралельно до неї (рис. 7.2) то шари газу поблизу площини матимуть найменшу швидкість. З віддаленням від площини швидкість шарів зростатиме.

Отже, між шарами виникає градієнт швидкості, спрямований перпендикулярно до напряму потоку. Обмін молекулами між шарами спричинює гальмування швидшого шару і пришвидшення повільного. В цьому полягає механізм виникнення внутрішнього тертя у газі. Величиною, що переноситься у цьому випадку, є імпульс молекули А=mv. За таких умов рівняння перенесення (7.5) набуває вигляду

(7.12)

Це рівняння Ньютона для внутрішнього тертя. Тут – коефіцієнт динамічної в’язкості газу.

Подібно до коефіцієнта теплопровідності  коефіцієнт в’язкості газів  не залежить від тиску і збільшується з підвищенням температури ( ). Поряд з коефіцієнтом динамічної в’язкості  на практиці використовують і коефіцієнт кінематичної в’язкості

. (7.13)

Подібність законів перенесення у газах (7.6), (7.11), (7.12) зумовлена спільним для цих явищ механізмом перемішування молекул газу внаслідок їхнього хаотичного руху і взаємодії. Якщо порівняти отримані вирази для коефіцієнтів перенесення, то неважко виявити взаємозв’язок між ними:

, , . (7.14)

Ми розглянули явища перенесення, коли градієнт величини А є сталим. Однак часто потрібно описати ці явища за умови, коли . Наприклад, якщо ізольовану термодинамічну систему, що перебуває у нерівноважному стані, залишити саму на себе, то з часом вона перейде до рівноважного стану. За цих умов у середовищі відбувається вирівнювання температур або концентрацій газу в усіх просторових точках об’єму, в якому міститься газ. Це нестаціонарні явища перенесення, які описують дещо іншими співвідношеннями, ніж (7.6), (7.11), (7.12). Зокрема, рівняння нестаціонарної теплопровідності в ізотропному однорідному середовищі

, (7.15)

де – температуропроводність середовища; – оператор Лапласа.

Рівняння нестаціонарної дифузії в ізотропному однорідному середовищі

, (7.16)

де C_p – питома теплоємність середовища за сталого тиску; – оператор Лапласа.