- •5. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли
- •Примеры линейных функционалов над
- •Свойства - функции
- •7. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
- •Примеры дискретных распределений
- •Свойства функции распределения и плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины
- •Примеры непрерывных распределений
- •8. Двумерные случайные величины
- •Свойства функции и плотности распределения вероятности
- •Теорема умножения плотностей
- •Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
- •Свойства математического ожидания и дисперсии
- •9. Функции случайных аргументов
- •10. Характеристические функции
- •Свойства характеристических функций
- •11. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
8. Двумерные случайные величины
Вектор , координаты которого есть случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называется случайным вектором, а функция называется функцией распределения случайного вектора или двумерной случайной величины .
Если координаты вектора – дискретные случайные величины, то называют дискретным случайным вектором.
Если функцию распределения вероятности вектора можно представить в виде , то случайную величину называют непрерывной двумерной случайной величиной, а – ее плотностью распределения вероятности.
Всюду в дальнейшем будем считать, что – непрерывная функция по обоим аргументам.
Свойства функции и плотности распределения вероятности
1) .
2) .
3) 0.
4) .
5) , , где и – функции распределения случайных величин и .
6) .
7) .
8) .
9) .
10) , ,
где и – плотности распределения случайных величин и .
Условной плотностью распределения случайной величины при условии называют предел
,
если он существует. Аналогично определяют .
Теорема умножения плотностей
.
Случайные величины и называются независимыми, если для любых чисел , случайные события и независимы.
Случайные события независимы, если выполняется любое из условий:
1)
2) .
3) или .
Условным математическим ожиданием называют выражение
для дискретного случайного вектора
для непрерывного случайного вектора.
Величина называется корреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин и .
Если – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения , то
,
где .
Для дискретного случайного вектора
.
Величина называется коэффициентом корреляции случайных величин и .
Если , то случайные величины и называются некоррелированными.
Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
1) .
2) Если и независимы, то . Обратное неверно: из некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.
3) Если , то
4) .
5) .
6) .
7) .
Свойства математического ожидания и дисперсии
1) , где – постоянная.
2) .
3) .
4) .
Если , то .
Случайная величина называется неотрицательной , если она принимает только неотрицательные значения.
5) Если , .
6) , где – постоянная.
7) .
8) .
Если , то .
9) . – постоянная.
10) .
11) .
Двумерная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения
.
Здесь , , , ,
–коэффициент корреляции случайных величин и . Для нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.
Двумерная случайная величина распределена равномерно в области , если ее плотность распределения
Здесь – площадь области .
Пример 1. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области , то есть
Найти постоянную , одномерные плотности , случайных величин и , коэффициент корреляции , условную плотность и условное математическое ожидание .
Рис. 2
т. , т. , т. .
1) Постоянную найдем из условия нормировки
, ,
где – площадь треугольника . Обозначим область, ограниченную треугольником через . Тогда
2) Уравнение прямой . Тогда область можно задать аналитически следующим образом:
или .
3)
.
.
.
.
4) .
.
5)
.
Пример 2. Дискретная двумерная случайная величина распределена по закону, приведенному в таблице
-
–1
0
2
–1
0,2
0,1
0,3
1
0,1
0,1
0,2
Определить:
1) Законы распределения составляющих и ;
2) Условный закон распределения случайной величины при условии, что ;
3) ;
4) Коэффициент корреляции .
Решение. Имеем
|
–1 |
1 |
|
0,6 |
0,4 |
|
–1 |
0 |
2 |
|
0,3 |
0,2 |
0,5 |
, ,
,
.
|
–1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
.
.
Сравнивая (*) и (**), видим, что – зависимые случайные величины:
;
= ;
.
Пример 3. Случайная точка распределена равномерно внутри круга радиуса . Найти математическое ожидание случайной величины .
Решение. Плотность распределения вероятности
= =
.
Пример 4. Пара случайных величин и имеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей :
.
Известно, что . Найти .
Решение. Совместная нормальность пары случайных величин и обеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величина нормальна с параметрами
, .
Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы
, , ,
получим
.
По условию , откуда, используя нормальность ,
.
Искомые дисперсии равны, соответственно,
, .
Пример 5. Случайный вектор имеет вектор математических ожиданий и корреляционную матрицу .
, .
Вычислить вектор математических ожиданий случайного вектора и корреляционную матрицу вектора .
Решение. .
.
. .
.
=
.
Ответ: , .