Свойства - функции

1) .

2) . (Здесь функция ).

3) Преобразование Фурье -функции

.

Тогда .

Производной функционала назовем функционал , действующий по правилу , .

Так как , то любой функционал имеет бесконечное количество производных и .

4) Пусть – функция Хевисайда.

Тогда .

5) .

Равенство справедливо для любой функции .

6) .

В частности, при , .

7. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин

Случайной величиной называется функция , определенная на пространстве элементарных событий , удовлетворяющая условию: для любых чисел можно посчитать вероятность попадания случайной величины в интервал .

Функцией распределения вероятности случайной величины называется функция , .

Случайные величины, принимающие дискретное множество значений, называются дискретными случайными величинами.

Примеры дискретных распределений

1. Биномиальное распределение

, .

2. Распределение Пуассона

, .

3. Геометрическое распределение

, , .

Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция; , , , .

Для дискретных случайных величин функция распределения кусочно-постоянная, непрерывная слева, имеет разрывы 1 рода в точках , и величина скачка равна .

Непрерывной называется случайная величина , функция распределения которой можно представить в виде

.

Функция называется плотностью распределения вероятностей случайной величины . Всюду в дальнейшем будем считать непрерывной функцией.

Свойства функции распределения и плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины

1) .

2) .

3) .

4) .

Примеры непрерывных распределений

1) Равномерное распределение

2) Нормальное распределение (с параметрами )

, , .

Запись означает, что случайная величина распределена нормально с параметрами и .

3) Показательное распределение

.

4) Распределение Коши

.

5) Распределение Релея

6) Гамма-распределение с параметрами ,

Здесь – гамма-функция.

Замечание. Для функции распределения дискретной случайной величины справедлива формула

,

где функция Хэвисайда. Дифференцируя последнее равенство, видим, что и для дискретной случайной величины можно ввести плотность распределения вероятности по формуле

.

Математическим ожиданием случайной величины называется число

(1)

Говорят, что математическое ожидание у случайной величины существует, если ряд (интеграл) (1) сходится абсолютно.

Дисперсией случайной величины называется число

.

Дисперсия вычисляется по формулам:

для дискретной случайной величины.

для непрерывной случайной величины, где .

Пример 1. Изделия испытываются при перегрузочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти испытания равны 0,8 и независимы. Испытания заканчиваются после первого же изделия, не выдержавшего испытания. Вывести формулу для ряда распределения числа испытаний.

Решение. Испытания заканчиваются на -м изделии, если первые ( -1) изделия пройдут испытания, а – изделие не пройдет.

Если случайное число испытаний, то

, .

ЗРВ будет иметь вид

	1	2	3

Пример 2. Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший поток. Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов.

Решение. Так как поток заявок представляет собой простейший поток, то число событий потока , попадающий на любой участок времени , распределено по закону Пуассона

, .

В нашем случае , , .

Обозначим через событие, состоящее в том, что за минуту поступит не менее двух вызовов. Тогда

= .

Пример 3. Случайная величина имеет пуассоновское распределение и известно, что ее математическое ожидание и дисперсия связаны соотношением .

Найти вероятность , .

Решение. Известно, что математическое ожидание и дисперсия пуассоновского распределения совпадают и равны значению его пара-метра . Условие задачи приводит к уравнению относительно :

,

решениями которого являются числа , . Последнее значение не может быть параметром пуассоновского распределения в силу положительности параметра. Таким образом, случайная величина имеет ряд распределения

, .

Для искомой вероятности получаем

.

.

Пример 4. Время безотказной работы некоторого узла сложного агрегата – экспоненциальная случайная величина со средним . Для увеличения надежности агрегата узел дублируется – ставят параллельно несколько одинаковых, но функционирующих независимо узлов. Сколько узлов следует запараллелить, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 0,9, по крайней мере один из них не вышел из строя за 10 часов работы?

Решение.  – случайное время безотказной работы узла – имеет экспоненциальное распределение. Это означает, что

Известно, что математическое ожидание экспоненциальной случайной величины есть величина, обратная параметру: . Следовательно, вероятность отказа узла в течение 10 часов будет равна

.

Если запараллелено идентичных узлов, то событие {по крайней мере один из узлов не вышел из строя за 10 часов} является противоположным событию {все узлы вышли из строя за 10 часов}. Поэтому . Для последней вероятности (в силу независимости отказов запараллеленных узлов) получаем

.

Искомое количество может теперь быть найдено как наименьшее целое решение неравенства

.