- •1.1. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів з остачею.
- •1.2. Корені многочлена. Теорема Вієта
- •1.3. Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. Раціональні дроби. Розкладання правильних
- •Розділ 2. Тригонометричні перетворення
- •2.1. Тригонометричні функції числового аргументу
- •2.2. Основні формули тригонометрії. Формули зведення. Перетворення тригонометричних виразів
- •3.1. Означення логарифма числа
- •3.2. Властивості логарифмів. Логарифмічні перетворення
- •Глава 4. Функції та графіки
- •4.1. Означення функції та її властивості
- •4.2. Графіки алгебраїчних функцій
- •4.3. Графіки тригонометричних функцій
- •4.4. Графіки показникової та логарифмічної функцій
- •4.5. Графіки обернених тригонометричних функцій
- •4.6. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
- •5.1. Рівняння та нерівності. Основні означення
- •5.2. Метод інтервалів. Раціональні нерівності
- •Алгоритм розв’язання нерівностей методом інтервалів
- •5.3. Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної величини
- •5.4. Показникові та логарифмічні рівняння
- •5.5. Показникові та логарифмічні нерівності
- •5.6. Тригонометричні рівняння
- •5.7 Тригонометричні нерівності
- •6. Алгебра комплексних чисел
- •6.1. Означення комплексного числа
- •6.2. Алгебраїчні дії з комплексними числами
2.2. Основні формули тригонометрії. Формули зведення. Перетворення тригонометричних виразів
У процесі перетворення тригонометричних виразів широко застосовуються такі формули.
1. Формули додавання:
.
2. Формули кратних аргументів:
3. Формули половинного аргументу:
4. Формули перетворення суми і різниці в добуток:
5. Формули перетворення добутку в суму і різницю:
6. Співвідношення між , , :
.
Також мають місце формули зведення. Формули зведення перетворюють тригонометричні функції від аргументів до функцій з аргументом .
Для зручності у користуванні формулами зведення використовують такі правила:
а) кут завжди вважається гострим;
б) ціле число періодів завжди можна відкинути;
в) якщо кут відкладається від горизонтального діаметра , то назва функції зберігається; якщо кут відкладається від вертикального діаметра , то назва функції змінюється (синус – на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс).
Приклад 2.4. Спростити вираз .
Розв’язання. Для отримання розв’язку скористаємося формулами зведення (див. табл. 2.1) та властивостями парності й непарності тригонометричних функцій. Маємо
.
Приклад 2.5. Обчислити число .
Розв’язання. Для отримання розв’язку скористаємося формулами зведення (див. табл. 2.1) та формулами додавання. Маємо
Приклад 2.6. Обчислити якщо і .
Розв’язання. Скористаємося формулами і візьмемо . Маємо , і задача зводиться до обчислення . Проведемо ці обчислення:
; оскільки , то і тому . Значить, . Таким чином, . Кут , тому і
Приклад 2.7. Обчислити , якщо .
Розв’язання. Скористаємося формулою перетворення добутку тригонометричних функцій в суму і формулою подвійного аргументу для . Маємо
Приклад 2.8. Довести рівність .
Розв’язання. Скористаємося формулами для перетворення суми і різниці синусів у добуток, а також формулами подвійного аргументу для і . Маємо
Приклад 2.9. Обчислити
Розв’язання. Скористаємося формулою для синуса суми двох аргументів і табличними значеннями тригонометричних функцій. Маємо
Приклад 2.10. Довести тотожність
Розв’язання. У лівій частині наведеної рівності виділимо повний куб і квадрат. Маємо
Приклад 2.11. Довести тотожність .
Розв’язання. До лівої частини рівності застосуємо формулу різниці квадратів, а до правої – формулу косинуса різниці двох аргументів. Маємо
.
Ліву та праву частини запропонованої рівності зведено до однакового вигляду, тому вони рівні.
Приклад 2.12. Довести тотожність .
Розв’язання.
У перетвореннях тригонометричних виразів застосовувалися формули подвійного аргументу для і . Слід звернути увагу на те, що наведені дії можливі лише тоді, коли тобто , або .
Приклад 2.13. Довести тотожність .
Розв’язання. Розкладемо на множники ліву частину рівності та застосуємо формули тангенса суми і різниці двох аргументів. Маємо
.
Доведена тотожність виконується, якщо , тобто .
Приклад 2.14. Довести числову рівність .
Розв’язання. Помножимо та поділимо ліву частину рівності на і скористаємося формулами подвійного аргументу. Маємо
.
Завдання для самостійної роботи
Обчислити значення тригонометричних виразів:
2.08. , якщо . 2.09. , якщо .
2.10. , якщо . 2.11. , якщо і .
Спростити:
2.12. . 2.13. .
2.14. .
2.15. .
2.16. . 2.17. .
Довести тотожності:
2.18. . 2.19. .
2.20. .
2.21. . 2.22. .
2.23. . 2.24. .
2.25. . 2.26. .
З’ясувати, для яких значень мають місце рівності:
2.27. . 2.28. .
У подальшому нам знадобиться означення ще чотирьох функцій числового аргументу.
Нехай число належить проміжку . Арксинусом числа ( ) називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із відрізка , синус якого дорівнює . Таким чином, запис означає, що
Арккосинусом числа ( ) називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із відрізка , косинус якого дорівнює . Отже, запис означає, що
Нехай . Арктангенсом числа називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із інтервалу , тангенс якого дорівнює числу . Аналогічно попереднім записам маємо: означає, що
Арккотангенсом числа називається таке число (або така дуга , або такий кут ) із інтервалу , котангенс якого дорівнює . Отже, означає, що
Корисною є табл. 2.2 найпростіших значень функцій.
Таблиця 2.2
Функція |
Аргумент |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. Позначення функцій пов’язано зі змістом слова « »- «арка», або «дуга».
Наведемо деякі тотожності, зв’язані із
1) 2)
3) 4)
5) 6) .
Приклад 2.15. Обчислити .
Розв’язання. Треба знайти , якщо відомо, що . Кут розташований у першій чверті і має додатний косинус. Тому .
Приклад 2.16. Обчислити .
Розв’язання. За формулою знайдемо . Важливо зауважити, що за означенням арктангенса цей кут розташований у першій або четвертій чверті і має додатне значення косинуса, тобто .
Приклад 2.17. Обчислити .
Розв’язання. Оскільки За допомогою формул зведення перетворюється на
Аргумент Остаточно
Завдання для самостійної роботи
2.29. Обчислити значення: a) , b) , c) , d) , e) , f) , g) , h) .
2.30. Катети прямокутного трикутника дорівнюють і . Знайти один із його гострих кутів , користуючись по черзі чотирма оберненими тригонометричними функціями.
Спростити вирази:
2.31. а) ; b) ;
c) ; d) ; .
2.32. а) ; b) ; c) .
2.33. а) , b) , c) .
2.34. Обчислити: а) , b) , c) ,
d) , e) , f) , g)
2.35. Довести, що , якщо .
Розділ 3. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ ВИРАЗІВ