- •1.1. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів з остачею.
- •1.2. Корені многочлена. Теорема Вієта
- •1.3. Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. Раціональні дроби. Розкладання правильних
- •Розділ 2. Тригонометричні перетворення
- •2.1. Тригонометричні функції числового аргументу
- •2.2. Основні формули тригонометрії. Формули зведення. Перетворення тригонометричних виразів
- •3.1. Означення логарифма числа
- •3.2. Властивості логарифмів. Логарифмічні перетворення
- •Глава 4. Функції та графіки
- •4.1. Означення функції та її властивості
- •4.2. Графіки алгебраїчних функцій
- •4.3. Графіки тригонометричних функцій
- •4.4. Графіки показникової та логарифмічної функцій
- •4.5. Графіки обернених тригонометричних функцій
- •4.6. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
- •5.1. Рівняння та нерівності. Основні означення
- •5.2. Метод інтервалів. Раціональні нерівності
- •Алгоритм розв’язання нерівностей методом інтервалів
- •5.3. Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної величини
- •5.4. Показникові та логарифмічні рівняння
- •5.5. Показникові та логарифмічні нерівності
- •5.6. Тригонометричні рівняння
- •5.7 Тригонометричні нерівності
- •6. Алгебра комплексних чисел
- •6.1. Означення комплексного числа
- •6.2. Алгебраїчні дії з комплексними числами
5.2. Метод інтервалів. Раціональні нерівності
Розглянемо функцію
Якщо всі нулі чисельника та знаменника відмітити на числовій прямій, то вони розіб’ють її на проміжків. Усередині кожного з них функція неперервна та зберігає знак. Для визначення цього знака достатньо взяти будь-яку точку з цього проміжку та знайти знак функції в цій точці. На практиці для розв’язання нерівності застосовують метод інтервалів.
В основу методу інтервалів покладено такі твердження:
1. Якщо – така точка, що показник степеня для виразу є число непарне, то праворуч і ліворуч від (на сусідніх проміжках) функція має різні знаки.
Наприклад, маємо функцію . При переході через точки функція змінює знак.
2. Якщо – така точка, що показник степеня для виразу є число парне, то праворуч і ліворуч від (на сусідніх проміжках) функція має однакові знаки.
Наприклад, маємо функцію . При переході через точку функція не змінює знак.
Алгоритм розв’язання нерівностей методом інтервалів
1. На числовій прямій позначають всі нулі чисельника і знаменника (критичні точки) заданої функції .
2. Визначають знак нерівності на кожному з числових проміжків. Обов’язково враховують парність чи непарність відповідного показника степеня.
3. Вибирають проміжки згідно зі знаком нерівності:
якщо функція має знак "+", то на цьому проміжку ;
якщо функція має знак "-", то на цьому проміжку .
Приклад 5.8. Розв’язати нерівність
Розв’язання.
Нулі заданої функції і . Позначимо ці точки на числовій прямій
(рис. 5.1). Оскільки нерівність строга, то точки 3 і 5 виключаємо із розв’язку.
2. Точки 3 і 5 розбивають числову пряму на 3 інтервали:
3. Визначимо знак нерівності на проміжку : нехай , тоді маємо нерівність . Скористаємося правилом зміни знака: на проміжку знак "-"; на проміжку – "+". Виберемо проміжки зі знаком нерівності "+". Тоді .
Рис. 5.1 Рис. 5.2
Приклад 5.9. Розв’язати нерівність .
Розв’язання.
1. Розкладемо квадратний тричлен . Для цього розв’яжемо квадратне рівняння : . Нерівність запишемо у вигляді і застосуємо метод інтервалів.
– нулі функції (рис. 5.2).
3. Визначаємо знак нерівності на кожному інтервалі:
: нехай , тоді ;
: нехай , тоді ;
: нехай , тоді .
Виберемо проміжки зі знаком нерівності "-". Маємо .
Приклад 5.10. Розв’язати нерівність .
Розв’язання.
1. Нулі заданої функції – . Вони розбивають числовий інтервал на 4 проміжки (рис. 5.3). Оскільки нерівність не строга, то точки і включаємо до розв’язку.
Рис. 5.3
2. Визначаємо знак нерівності на інтервалі : візьмемо , тоді .
3. Подвійних точок нерівність не має. Тому скористаємося умовою зміни знака: – "+"; – "-"; – "+". Маємо .
Приклад 5.11. Розв’язати нерівність
Розв’язання. ОДЗ: . Відмітимо на числовій прямій точки , (нулі чисельника) і , (нулі знаменника). Нерівність записано в стандартному вигляді, тому праворуч від точки функція додатна. Усі показники степеня непарні, тому при переході через них знак лівої частини нерівності буде змінюватися (рис. 5.4). Маємо
Рис. 5. 4
Завдання для самостійної роботи
5.6. Розв’язати нерівності:
а) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;
g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ; l) .