- •1.Плоскость комплексных чисел. Модуль, аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •2. Предел последовательности комплексных чисел.
- •3. Числовые ряды с комплексными членами.
- •4. Понятие функции комплексной переменной. Примеры.
- •Линейная ф-ция. Ее геометрический смысл.
- •7. Понятие производной функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
- •8. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения.
- •9. Показательная ф-ция и ее св-ва.
- •10. Логарифмическая функция и ее свойства.
- •Свойства логарифмической функции:
- •Свойства главного логарифма:
- •11. Тригонометрические ф-ции.
- •12. Понятие интеграла от функции комплексной переменной. Условия существования интеграла от функции комплексной переменной.
- •Свойства интегралов:
- •13. Интегральная теорема Коши.
- •14. Первооброзная. Формула Ньютона-Лейбница.
- •15. Интегральная формула Коши.
- •16.Понятие функционального ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •17. Степенные ряды.
- •18. Аналитическая ф-ция. Разложение в ряд.
- •19. Теорема единственности.
- •20. Аналитическое продолжение.
- •21. Теорема Лиувилля.
- •22. Нули аналитической функции.
- •23. Ряд Лорана. Теор. Лорана.
- •24. Устранимые особые точки.
- •25. Полюсы функции комплексной переменной.
- •Необходимость.
- •Достаточность.
- •26. Существенно особые точки функции комплексной переменной. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
- •Достаточность.
- •27. Вычет функции. Теорема о вычетах.
- •28. Понятие логарифмического вычета. Принцип аргумента.
- •29. Теорема Руше.
- •30. Основная теорема алгебры.
15. Интегральная формула Коши.
Теорема(интегральная формула Коши).
Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и на ее границе Г. Тогда для любой точки справедливо равенство:
Док-во.
Пусть -произвольная точка. Выберем Так как функция f(z) аналитична в точке а,то она в ней непрерывна. Следовательно, для выбранного найдется такое что для всех таких, что выполняется неравенство
Рассмотрим круг k1(a,r) такой что Обозначим границу этого круга через Рассмотрим функцию она аналитична в области D, за исключением точки a. Значит,она аналитична в 2связной области, полученой из области D исключением круга k1(a,r). Тогда по следствию из теоремы Коши:
Покажем, что последний интеграл равен f(a).
Покажем, что равно нулю. Для этого оценим его по модулю.
Замечание 1. Из формулы коши следует, что если функция f(z) аналитична в области D и на ее границе, то она однозначно определяется через свои значения на границе Г области D.
Этот факт отображают следующим образом:
Замечание2. Если точка a лежит во внешности контура Г, то
Пример. граница области D.
(график:единичная окружности заштрих.внутри)
16.Понятие функционального ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов.
Пусть задана последовательность функций комплексного переменного z. f1(z),f2(z),…fn(z)..определенных на множестве D
Опр. Функциональным рядом называется символ вида f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+… или
Опр. n-й частичной суммой называется функция Sn(z)= f1(z)+f2(z)+…+fn(z)
Рассмотрим точку z0 области D, тода функциональному ряду ставится в соответствие числовой ряд f1(z0)+f2(z0)+…+fn(z0)+…=
Тогда если этот числовой ряд сходится то z0 называется точкой сходимости.
Множество E всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости функционального ряда.
Опр. Функция S(z) определенная на области E для которой справедливо равенство
называется суммой функционального ряда.
Опр. Функциональный ряд f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…= называется равномерно сходящимся на множестве M если выполняются условия.
Сходится к функции S(z) на M
Теорема Критерий Коши равномерной сходимости
Функциональный ряд сходится равномерно к функции S(z) на множестве М тогда и только тогда, когда
Теорема. Признак Вейерштрасса
Пусть дан функциональный ряд и для всех существует сходящийся знакоположительный ряд такой что тогда данный функциональный ряд сходится сходится равномерно на множестве M.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Теорема. Если функциональный ряд сходится равномерно на M и функции fn(z) непрерывны на этом множестве то сумма этого ряда является непрерывной функцией на М.
Теорема. Пусть функциональный ряд сходится равномерно на спрямляемой кривой Г и каждая функция fn(z) непрерывны на Г тогда этот ряд можно почленно интегрировать вдоль кривой Г
Теорема. . Пусть функциональный ряд сходится равномерно в области D и функции fn(z) аналитичны в этой области, тогда сумма ряда S(z) также аналитична в области D, причем справедливо равентство