- •1.Плоскость комплексных чисел. Модуль, аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •2. Предел последовательности комплексных чисел.
- •3. Числовые ряды с комплексными членами.
- •4. Понятие функции комплексной переменной. Примеры.
- •Линейная ф-ция. Ее геометрический смысл.
- •7. Понятие производной функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
- •8. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения.
- •9. Показательная ф-ция и ее св-ва.
- •10. Логарифмическая функция и ее свойства.
- •Свойства логарифмической функции:
- •Свойства главного логарифма:
- •11. Тригонометрические ф-ции.
- •12. Понятие интеграла от функции комплексной переменной. Условия существования интеграла от функции комплексной переменной.
- •Свойства интегралов:
- •13. Интегральная теорема Коши.
- •14. Первооброзная. Формула Ньютона-Лейбница.
- •15. Интегральная формула Коши.
- •16.Понятие функционального ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •17. Степенные ряды.
- •18. Аналитическая ф-ция. Разложение в ряд.
- •19. Теорема единственности.
- •20. Аналитическое продолжение.
- •21. Теорема Лиувилля.
- •22. Нули аналитической функции.
- •23. Ряд Лорана. Теор. Лорана.
- •24. Устранимые особые точки.
- •25. Полюсы функции комплексной переменной.
- •Необходимость.
- •Достаточность.
- •26. Существенно особые точки функции комплексной переменной. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
- •Достаточность.
- •27. Вычет функции. Теорема о вычетах.
- •28. Понятие логарифмического вычета. Принцип аргумента.
- •29. Теорема Руше.
- •30. Основная теорема алгебры.
27. Вычет функции. Теорема о вычетах.
Опр: Пусть a изолир-я ок-ть фун-ии , вычетом фун-ии в точке а наз-ся: где некая ок-ть целиком лежащая в проколотой ок-ти точки а, не содержащих других особых точек
Обозначается вычет:
Пр:
Теорема (Вычет фун-кции является ее разложением в ряд Лорана в окр-ти точки а)
Пр:
Следствие:
1)
2)Если точка а полюс 1-го порядка ф-ии ,
3) Если точка а полюс к-го порядка ф-ии, то вычет ф-ии будет авен:
Замечание:
4)Если в некой окр-ти точки а фун-я представлена в виде где аналитична, причем
Док-во: Функция имеет в точке а 0 первого порядка
Пр:
Найти вычет
с
Теорема о вычетах пусть ф-ция f(z) аналит.в обл. D за искл. конечного числа особ. т. ak к=1,…,n. Пусть контур Г целиком лежит в обл. D и не проходит ни через одну из особ. точек ф-ции f(z), причем все особ. т. лежат внутри контура .
док-во поведем n окр. |z-ak|=rk так чтобы они целиком лежали внутри контура Г так, что бы внутри каждой из этих окр. была токлько одна особая т. ф-ции и они не имели общих точек - γk. ч.т.д.
28. Понятие логарифмического вычета. Принцип аргумента.
Пусть функции аналитичны в проколотой окрестности точки
Опр: Логарифмическим вычетом функции в точке называется вычет ее логарифмической производной
Пусть – ноль порядка для функции т.е. где аналит.
Пусть полюс порядка для функции где - аналитична и .
Точка является полюсом первого порядка.
;
Теор:: Пусть функция аналитична в D за исключением конечного числа полюсов кратностей соответственно и обращающихся в нуль в точках кратностей пусть контур целиком лежит в области D и охватывает все полюсы и нули функции f(z), тогда справедливо рав-во:
Док-во: По теореме о выч.
Пр:
;
;
– аналитична на всей плоскости P=0
(график:един.окружность с центром (1,0) на компл.плоскости);
Геометрический смысл логарифмического вычета.
Будем считать точку z0 началом,концом контура Г.
Пусть точка z проходит кривую Г начиная из точки z0в положительном напрвлении. Тогда будет описывать на плоскости w некоторую непрерывную кривую Г’ с началом в точке замкнута.
Пусть аргумент точки w0 до начала обхода равен . Обозначим аргумент конечной точки w0
Вообще говоря справедливо:
С другой стороны:
Обозначим
Логарифмический вычет будет равен изменению аргумента функции f(z) деленному на и умноженная на аргумент f(z) !!! дальше видимо пропущена строчка
Теор: Пусть функция аналитична в D за исключением конечного числа полюсов кратностей соответственно и обращающихся в нуль в точках кратностей
Пусть кривая L целиком лежит в D и охватывает все нули и полюсы функции f(z), тогда разность между числом нулей и числом полюсов функции f(z) равна делимому на 2 изменению аргумента функции f(z) при обходе кривой L; т.е
29. Теорема Руше.
Теорема: Пусть функции аналитичны в области D и контур L целиком лежит в этой области, тогда если на контуре L выполняется неравенство то функция и функция имеют внутри контура L одинаковое число нулей.
(график: область D внутри которой замкнутая кривая(контур) L)
Док:
Применим принцип аргумента.
Рассмотрим последовательность слаг.
Значит значения лежат внутри круга с центром в точке 1 радиуса 1.
Значит измен.вдоль
Т.о изменение
Так как функции аналитичны в области , то функция не имеет полюсов. Т.о в силу принципа аргумента число нулей внутри контура L.
тоесть число нулей совпадает.
Пример: Определить количество корней уравнения.
(график:единичная окружность на компл.плоскости |z|=1)