- •Функции нескольких переменных.
- •8.Производная по направлению, градиент
- •Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции ? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?
- •Дайте определение градиента функции в точке . Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост функции. Чему равна скорость этого роста?
- •Имеет ли функция локальный экстремум в точке ?
- •Сформулируйте достаточные условия локального экстремума функции в некоторой точке.
- •Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области?
- •58. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в круге .
- •Интегральное исчисление
- •12.Первообразная и неопределенный интеграл
- •Дайте определение первообразной. Докажите, что если и – первообразные функции на интервале , то на этом интервале , где – некоторая постоянная.
- •Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите, что .
- •Известно, что первообразная функции , первообразная функции и . Какова связь между функциями и ? Дайте обоснованный ответ.
- •Пусть , , . Найдите .
- •Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •13.Определенный интеграл
- •Дайте определение функции , интегрируемой на отрезке . Докажите, исходя из определения, что постоянная функция интегрируема на любом отрезке.
- •Пусть , и . Найдите
- •Докажите, что если функция непрерывна на отрезке , то функция , , является ее первообразной на этом отрезке.
- •Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница.
- •Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной функции. При каких значениях сходится интеграл ?
- •15.Сходимость и сумма числового ряда
- •Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при .
- •Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.
- •16.Числовые ряды с неотрицательными членами
- •Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак применим.
- •Дайте определение гармонического ряда. Докажите, что гармонический ряд расходится.
- •17. Знакочередующиеся числовые ряды
- •Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.
17. Знакочередующиеся числовые ряды
Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.
Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов знакочеред ряда (A1-A2+A3-A4+…+(-1)n+1*An+…) монотонно убывают: A1>A2>A3… и общий член ряда стремится к нулю: lim An=0, то ряд сходится.
Пример: 1-1√2+1√3-1√4+…условно сход ряд, так как сам он сходится по признаку Лейбница. А ряд, составленный из абсолютных величин 1+1√2+1√3+1√4+…, расходится.
Пример: - знакочередующийся ряд. Убедимся, что модуль общего члена монотонно убывает:
>1 для всех п. Далее, . Таким образом, по признаку Лейбница данный ряд сходится. Продолжим исследование модуля общего члена данного ряда. Сравним его с общим членом гармонического ряда. Имеем . Следовательно, данный ряд, как и гармонический, расходится. Окончательно можно утверждать, что данный ряд сходится условно.