- •Функции нескольких переменных.
- •8.Производная по направлению, градиент
- •Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции ? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?
- •Дайте определение градиента функции в точке . Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост функции. Чему равна скорость этого роста?
- •Имеет ли функция локальный экстремум в точке ?
- •Сформулируйте достаточные условия локального экстремума функции в некоторой точке.
- •Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области?
- •58. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в круге .
- •Интегральное исчисление
- •12.Первообразная и неопределенный интеграл
- •Дайте определение первообразной. Докажите, что если и – первообразные функции на интервале , то на этом интервале , где – некоторая постоянная.
- •Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите, что .
- •Известно, что первообразная функции , первообразная функции и . Какова связь между функциями и ? Дайте обоснованный ответ.
- •Пусть , , . Найдите .
- •Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •13.Определенный интеграл
- •Дайте определение функции , интегрируемой на отрезке . Докажите, исходя из определения, что постоянная функция интегрируема на любом отрезке.
- •Пусть , и . Найдите
- •Докажите, что если функция непрерывна на отрезке , то функция , , является ее первообразной на этом отрезке.
- •Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница.
- •Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной функции. При каких значениях сходится интеграл ?
- •15.Сходимость и сумма числового ряда
- •Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при .
- •Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.
- •16.Числовые ряды с неотрицательными членами
- •Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак применим.
- •Дайте определение гармонического ряда. Докажите, что гармонический ряд расходится.
- •17. Знакочередующиеся числовые ряды
- •Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.
Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите, что .
Свойства неопределенного интеграла.
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
Доказательство:
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.
Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k ≠ 0, то
Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.
Известно, что первообразная функции , первообразная функции и . Какова связь между функциями и ? Дайте обоснованный ответ.
Вычитая из первого уравнения второе получим:
Можно сделать вывод о том, что функции G(x) и F(x) будут отличаться друг от друга на величину произвольной константы, либо будут равны, если равны эти константы.
Пусть , , . Найдите .
Мы используем св-ва, которые были в 64 вопросе (см. выше). Сначала находим неопр интеграл для g(x), потом через него для f(x), а потом уже для h(x). В конце по идее должна получиться такая белиберда: .
Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Теорема: Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям
Доказательство: Согласно формуле для дифференциала произведения функций uv: d(uv) = udv + vdu. Интегрируя обе части равенства, получим слева uv по свойству 2 неопределенного интеграла, а справа - сумму интегралов, так что
13.Определенный интеграл
Дайте определение функции , интегрируемой на отрезке . Докажите, исходя из определения, что постоянная функция интегрируема на любом отрезке.
Определение: Функция , ограниченная на отрезке [а,b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу (хз, что это такое, но это не важно здесь) для всевозможных разбиений отрезка [а,b]. Если функция интегрируема на отрезке [а,b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называется определенным интегралом функции на данном отрезке и обозначается следующим образом:
Пусть , и . Найдите
Докажите, что если функция непрерывна на отрезке , то функция , , является ее первообразной на этом отрезке.
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то функция
F(x) = дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка, причем F’(x) = f(x)
Доказательство: Пусть F’(x) =( )’ = .
Для x (a,b) выберем ∆x столь малым, чтобы точка x+ ∆x лежала внутри отрезка [a,b]; тогда F(x+ ∆x) =
К последнему интегралу применим теорему о среднем:
F(x+ ∆x) – F(x) = = f(c)∆x,
где промежуточная точка с находится между x и x+∆x, поэтому
Так как функция f(x) непрерывна и c→x при ∆х→0, то . Поэтому
F’(x) = = чтд.