Параметры колебательного движения.

1. Период колебаний (T).

Величину T, характеризующую периодичность колебательного движения, называют периодом колебаний.

Период колебаний измеряют временем, затраченным на одно полное колебание, и выражают в секундах.

2. Частота (ν).

Величину ν, характеризующую скорость повторяемости колебательного движения, называют частотой колебаний.

Частоту колебаний тела измеряют числом полных колебаний за единицу времени:

ν = 1/T

[ν] = 1/c = Гц

Герцем называют такую частоту колебаний тела, при которой оно совершает одно полное колебание за 1 секунду.

3. Амплитуда (A).

Амплитудой называется величина максимального отклонения колеблющейся точки от положения ее устойчивого равновесия.

Колебания точки, которые происходят с постоянной амплитудой, называются незатухающими колебаниями, а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими колебаниями.

Гармоничные колебания, уравнения и график.

В тех случаях, когда возвращающей силой является равнодействующая силы упругости и силы тяжести, параметры колебательного движения можно связать с параметрами движения точки по окружности.

Если точка совершает колебание с постоянными амплитудой A и периодом T, то такое колебание совершает проекция точки, равномерно движущейся по окружности с радиусом A и периодом T, на один из диаметров окружности.

РИСУНОК

Допустим, что т.С равномерно движется по окружности радиуса OʹC = A с угловой скоростью w и совершает полный оборот за время T. Тогда проекция т.С на прямую MN будет совершать колебания с амплитудой A и периодом T.

Отсчет времени ведем от того самого момента, когда подвижный радиус занимает положение OʹC, а колеблющаяся точка положение Oʹʹ. Пусть за время t радиус повернется на угол  = w*t, тогда проекция точки С переместится по прямой MN на расстояние x = DC1 = OʹʹB1.

На окружности точками показаны положения конца подвижного радиуса через равные промежутки времени, а на прямой MN – положение колеблющейся точки в те же моменты времени.

△= OʹC1D: x = A*sin

или x = A*sin(w*t)

 – фазовый угол (фаза) [] = рад

w – круговая (циклическая) частота

При равномерном движении точки по окружности угловая скорость выражается:

w = 2/T или w = 2*ν, то  = (2*t)/T = 2*ν*t

Отсчет времени можно производить от любого момента времени. В этом случае начальное положение этой точки определяют углом _, который называют начальной фазой.

Тогда фазу колебания можно выразить:

 = 0 + w*t

 = 0 + (2*t)/T или  = 0 + 2*ν*t

Такие колебания, при которых смещение подчиняется синусоидальному закону, называется гармоническими.

Колебания, которые происходят под действием только одной возвращающей силы, пропорциональной смещению, являются гармоническими.

Fв = –k*x

«–» означает, что Fв и x направлены в разные стороны;

Fв – возвращающая сила

x – смещение

Другие силы (кроме Fв) на точку не действуют, ее колебания будут гармоническими.

Уравнение x = A*sin – уравнение гармонического колебания.

x = A*sin(0 + w*t)

x = A*sin(0 + (2*t)/T)

или x = A*sin(0 + 2*ν*t)

Колебание с начальной фазой /2 подчиняется косинусоидальному закону:

sin (/2+ w*t) = cos (w*t) – явление гармонического колебания.

График гармонического колебания представляет собой синусоиду.

Построение: по оси абсцисс откладывается время t, а по оси ординат – смещение x. Указав на оси абсцисс точки T/8, T/4 и так далее, откладываем соответствующие смещения B1, B2 и так далее. Соединив плавной кривой, получим график гармонического колебания точки.

При затухающих колебаниях период остается постоянным, а амплитуда постоянно уменьшается.

РИСУНОК

Величины, характеризующие мгновенное состояние колеблющейся точки.

Период, частота и амплитуда колебательного движеня не дают никаких сведений о том, где находится колеблющаяся точка в данный мамент времени и в каком направлении она движется.

Для этого вводятся новые величины:

– Величину Х, характеризующую положение колеблющейся точки в выбранный момент времени относительно положения равновесия, называют смещением.

Смещение измеряют расстоянием от положения устойчивого равновесия колеблющейся точки до ее положения в заданный момент времени.

Чтобы смещение было однозначным, ему приписывают знак.

А = IХmaxI

– Величину , характеризующую как положение, так и направление движения колеблющейся точки в заданный момент времени, называют фазой колебания.

Фазу колебания точки измеряют отвлеченным числом, показывающим, какая часть периода прошла от момента начала колебания точки.

T/2, 3T/4, T/4

РИСУНОК

Смещение колеблющейся точки связано с амплитудой колебания, а фаза – нет.

С помощью фазы можно установить различие в колебаниях точек, происходящих с одинаковыми периодами и амплитудами.

РИСУНОК

Два одинаковых маятника, которые одновременно начинают колебания из положений, показанных на рисунке.

Тогда их периоды и амплитуды будут одинаковы, но направления движений окажутся противоположными.

Приняв для обоих маятников одинаковые начальные условия для отсчета фазы, различия в их колебаниях можно выразить разностью фаз.

Представим себе, что оба маятника удерживаются в крайнем левом положении. Если правый маятник отпустить, и, когда он займет крайнее правое положение, отпустить левый, то они будут оба колебаться.

Поскольку левый маятник начал свои колебания на полпериода позже правого, то говорят, что правый маятник опережает левый по фазе на 1/2.

Колебания маятников происходят с разностью фаз 1/2.

Когда два колебания происходят с одинаковым периодом (частотой, то разность фаз между ними сохраняется неизменной в течении всего времени колебаний.

Если колебания двух точек происходят с разностью фаз 0 (1), то говорят, что они колеблются в одинаковой фазе.

Когда колебания двух точек происходят с разностью фаз 1/2, то говорят, что они имеют противоположные фазы.

Мгновенное состояние колеблющейся точки характеризуют скорость ее движения Ѵ и ускорение a, так как эти величины непрерывно изменяются со временем.

Скорость Ѵ имеет максимальное значение в положении равновесия точки. а в крайних положениях она равна нулю.

Ускорение a равно нулю в положениях равновесия, и имеет максимальное значение в крайних положениях колеблющейся точки.

Математический маятник, пружинный маятник. Превращение энергии при колебательном движении.

Математическим маятником называют математическую точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити.

РИСУНОК

При вертикальном положении нити действие силы тяжести Fт уравновешивается действием силы упругости Fу. Это положение является положением равновесия.

Fв = – ((Fт*X)/)

Fв = – k*X; k = (m*g)/, если

α – (ВОПРОС 4), X – смещение

При малых углах размаха колебания математического маятника можно считать гармоническими.

1. При малых углах размаха период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды, ни от массы маятника.

2. Период колебаний математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из длины маятника  и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения:

T = 2**«квадратный корень из»(/g)

Законы колебания математического маятника можно применять только к колебаниям таких тел, размеры которых по сравнению с расстоянием от точки подвеса до центра тяжести. Все маятники, для которых это условие не выполняется, называются физическими.

Колебания физического маятника можно представить себе как совместное колебание множества математических маятников с разной длиной.

РИСУНОК

Чтобы иметь возможность пользоваться формулой в случае физического маятника: приводят физический маятник в колебание и подсчитывают время определенного числа колебаний, находят его период T, а затем по формуле вычисляют длину математического маятника, у которого период тоже равен T.

Длину математического маятника пр, у которого период колебаний равен периоду колебаний физического маятника, называют приведенной длиной физического маятника.

T = 2**«квадратный корень из:»(пр/g)

Колебания, при которых возвращающая сила создается силами упругости, называются упругими колебаниями.

Примером упругих колебаний может служить колебание пружины с грузом.

РИСУНОК

Fв = – k*X

X – смещение груза, закрепленного на пружине, ее абсолютная деформация.

k – жесткость пружины.

«квадратный корень из»(k/m) – круговая частота.

Так как ω = «квадратный корень из»(k/m)

Следует T = 2ω

T = 2**«квадратный корень из»(m/k)– для упругих колебаний.

Превращение энергии при колебательном движении.

При колебаниях груза на пружине в любом положении груза его полная механическая энергия W равна сумме потенциальной энергии П и кинетической энергии E:

W = П + E

W = (k*X^2)/2 + (m*Ѵх^2)/2

X – смещение.

Ѵх – скорость в точке, в которой определяют энергию тела.

В положении равновесия тело обладает только кинетической энергией, следовательно:

W = (m*Ѵmax^2)/2

В крайнем положении колеблющееся на пружине тело обладает только потенциальной энергией:

W = (k*A^2)/2

A – амплитуда колебаний.

ω^2 = k/m; k = ω^2*m, следовательно

W = (ω^2*m*A^2)/2

Полная энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна его массе, квадрату частоты колебаний и квадрату их амплитуды.

Свободные и вынужденные колебания. Механический резонанс. (НАЧАЛО ПРОПУСКОВ ФОРМУЛ)

Колебания материальной точки, которые происходят при действии на нее силы сопротивления среды и возвращающей силы, называются свободными колебаниями.

Колебания тела, которые создаются периодически действующей на тело внешней силой, называются вынужденными колебаниями.

РИСУНОК

Прикрепим пружинный маятник к кривошипному механизму.

Приведем маятник в колебания по вертикали и подсчитаем частоту его свободных колебаний. Когда силы сопротивления незначительны, то она практически совпадает с частотой собственных колебаний: ω = «квадратный корень из»(k/m).

Остановим маятник и начнем равномерно вращать механизм с угловой скоростью _. Точка закрепления пружины при этом будет двигаться возвратно-поступательно вверх-вниз, и на маятник будет действовать внешняя сила, периодически изменяющаяся с круговой частотой _. Под действием этой силы маятник будет совершать незатухающие вынужденные колебания с той же частотой.

Будем теперь изменять частоту вынуждающей силы _ и измерять амплитуду _ вынужденных колебаний маятника, дождавшись каждый раз, пока они примут установившийся характер.

РИСУНОК

При очень медленном вращении механизма маятник поднимается и опускается вместе с точкой подвеса на небольшую высоту, не раскачиваясь. при увеличении _ он раскачивается все сильнее, а при приближении частоты вынужденных колебаний _ к измеренной нами частоте свободных колебаний, амплитуда _ резко возрастает, достигая максимального значения при совпадении этих частот. При дальнейшем увеличении _ амплитуда _ быстро уменьшается. При очень быстром вращении механизма, маятник, вследствие своей инерции, практически неподвижен.

Такую частоту вынуждающей силы, при изменении которой как в большую, так и в меньшую сторону амплитуда вынужденных колебаний системы уменьшается, называется резонансной частотой этой системы.

Резонансом называется явление быстрого возрастания амплитуды вынужденных колебаний какой-либо системы при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте системы.

Резонансная частота системы равна частоте ее свободных колебаний; когда силы сопротивления малы, то можно считать .что она равна собственной частоте.

Амплитуда колебаний системы при резонансе сильно зависит от сил сопротивления среды и трения. Чем меньше эти силы, тем больше амплитуда колебаний системы. Особенно большие амплитуды колебаний при резонансе получаются, когда силы сопротивления малы. В этом случае колебания при резонансе могут разрушить всю колеблющуюся систему.

Резонанс приносит вред:

1) износ фундаментов, на которых устанавливают ритмично работающие машины.

2) в авиации: разрушение самолета во время полета.