- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
Метод Эйлера может быть построен, исходя из понятий теории разностных схем. Введем на отрезке равномерную сетку и соответствующую ей сеточную функцию для аппроксимации искомого решения . Для аппроксимации производной используем правую разностную схему, т.е. . Заменим исходное дифференциальное уравнение (1) следующей разностной схемой
(7)
И добавим начальное условие
(8)
Решение уравнения (7) можно выразить явным образом через предыдущие значения, т.е.
(9)
Распространим уравнение (9) на всю сетку и добавим начальное условие
(10)
Построенный таким образом метод Эйлера является одношаговым.
8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
Существуют различные модификации метода Эйлера, повышающие его точность. Они обычно направлены на то, чтобы более точно определить переход от точки в точку .Усовершенствованным методом Эйлера называется метод, который использует формулу следующего вида
(1)
При использовании этого метода сначала по формуле Эйлера найдем приближенное решение в середине интервала, т.е.
(2)
Затем в середине отрезка, т.е. точке ( , ) вычисляем значение функции , т.е. определяем в этой точке наклон интегральной кривой . Используя эти найденные промежуточные значения вычисляем значение сеточной функции по формуле (1).
Следовательно, формулу (1) можно записать следующим образом
(3)
Геометрически усовершенствованный метод Эйлера можно изобразить следующим образом.
Рис.1.
По методу Эйлера мы получаем кривую L2, а усовершенствованный метод Эйлера дает решение в виде кривой L1. В модифицированном методе Эйлера усредняются наклоны касательных, при этом для нахождения следующего значения вычисляется значение f два раза, т.е. увеличивается объем вычислений. Однако уже из рисунка видно, что этот метод является более точным по сравнению с методом Эйлера. Доказывается, что усовершенствованный метод Эйлера имеет точность второго порядка.
9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
Рассмотрим еще одну модификацию метода Эйлера, которая получается, если аппроксимацию функции f приравнять среднему арифметическому значений этой функции на концах элементарного отрезка, т.е. имеем
i=0,1,2,…,n-1 (4)
(5)
Выразим значение сеточной функции решения
i=0,1,2,…,n-1 (6)
(7)
Полученная схема является неявной, т.к. искомое значение сеточной функции входит в обе части уравнения (6) и его нельзя выразить явно. Значит решение разностной задачи (6)-(7) следует искать итерационным способом. Вычисление сеточной функции в каждой последующей точке, т.е. можно проводить на основе двух итераций. Будем предполагать, что значение уже известно. Применим метод Эйлера и найдем промежуточное значение
(8)
Это найденное промежуточное значение подставим в правую часть уравнения (6), чтобы вычислить значение функции f. Окончательно получаем
i=0,1,2,…,n-1 (9)
(10)
Алгоритм (8)-(10) можно записать в виде одного соотношения вида
i=0,1,2,…,n-1 (11)
(12)
Схема (4)-(5) или в варианте (11)-(12) является модификацией метода Эйлера и ее называют методом Эйлера-Коши или методом Эйлера с пересчетом. Этот метод может быть получен путем разложения функции u(x) в ряд Тейлора. Параллельно можно показать , что этот метод имеет второй порядок точности, т.е его применение уменьшает в среднем значение погрешностей до величины второго порядка малости . На практике же оценку погрешности полученного решения принято получать с помощью двойного пересчета с шагами h и h/2.
С помощью метода Эйлера-Коши можно проводить контроль точности решения путем сравнения промежуточного значения функции в i+1 узле с ее окончательным значением в этом узле , т.е. значений и . На основании этого сравнения выбирается величина шага h в каждом узле. Если модуль разности этих значений сравним с погрешностью вычислений, т.е. выполняется неравенство , то шаг можно увеличить.