- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
Решение ДУ занимает важное место среди научно-технических прикладных задач. С помощью ОДУ можно описать: движение системы взаимодействующих материальных точек; задачи химической кинетики; состояние электрических цепей; задачи сопротивления материалов и т.д. Конкретная прикладная задача может приводить к ДУ или системе ДУ любого порядка.
По числу независимых переменных ДУ делятся на две категории:
ОДУ с одной независимой переменной;
ур-ия с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.
ОДУ-ми называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных различного порядка от искомой функции одной переменной u=u(x).
Такие уравнения можно записать в виде (1)
где x- независимая переменная. Наивысший порядок (n) входящей в уравнение (1) производной называется порядком уравнения. Если старшую производную в уравнении (1) можно выразить в явном виде, то такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной. , x[a,b](2)
Известно, что ОДУ n-го порядка можно свести к эквивалентной системе из n уравнений первого порядка путем понижения порядка уравнения, используя выражение (2), поэтому достаточно знать методы решения систем ДУ первого порядка.
Линейным ДУ называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Решением ДУ (1) называется всякая функция u=(x), которая удовлетворяет этому уравнению при всех значениях x[a,b]. Различают общее и частное решения ДУ. Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение ОДУ можно записать следующим образом (4)
Частное решение ДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать конкретные значения. Для ДУ первого порядка общее решение зависит от одного произвольного параметра.
Для нахождения частного решения, т.е. определения С=С1 требуется сформулировать одно дополнительное условие.
В качестве дополнительных условий можно задавать значения искомой функции и ее производных в некоторых точках области определения независимой переменной. Исходя из способа задания дополнительных условий для получения частного решения ДУ, выделяют два различных типа задач: Задачу Коши (задача с начальными условиями) и краевую задачу. Если все дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши или задачей с начальными условиями. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка x=x0, в которой задаются эти условия, - начальной точкой.
Если же дополнительные условия задаются более, чем в одной точке, то такая задача называется граничной (краевой). Сами дополнительные условия - граничными (краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x=a, x=b, которые являются границей области решения ОДУ. Если в качестве граничных условий указываются значения функции u(a), u(b), то такие условия называются условиями первого рода. Кроме граничных условий первого рода для ОДУ часто ставят условия второго и третьего рода, в которых на концах отрезка задают соответственно значения производной функции или линейные комбинации функции и ее производной.