7Экстремум функции 2 переменных.

Рассмотрим функцию z=f(x;y) двух переменных, определённую в некоторой области D.

Функция f(x;y) имеет строгий локальный максимум (минимум) в точке , если неравенство имеет место во всех точках из некоторой достаточно малой окрестности точки .

Необходимые условия экстремума.

Если дифференцируема в точке и имеет экстремум в этой точке, то её дифференциал равен нулю:

Точка называется стационарной точкой функции , если

Пусть -стационарная точка функции Обозначим

Достаточные условия экстремума.

1.Если -точка максимума.

2.Если -точка минимума.

3.Если не является точкой экстремума.

4.Если то точка может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

8Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, границей которой является кривая L, тогда по теореме Вейерштрасса функция достигает в области своего наибольшего и наименьшего значения. Эти значения могут быть среди точек экстремума, принадлежащих области и на границе области D.

Пример: найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x²+2xy-4x+8y в области D, ограниченной прямыми: x=0, y=0, x=1,y=2.

9Производная по направлению и градиент.

Рассмотрим функцию в некоторой области D пусть точка M₀(x₀, y₀) D рассмотрим вектор с началом в точке M₀. Направление вектора задают две направляющих косинуса: и - это направляющие вектора . Причем cos²+cos²=1, - это единичный вектор направляющие l имеет координаты l₀(cos , cos ). Дадим вдоль вектора l приращение l (x₀, y₀).

Функция получит полное приращение.

, разделим и перейдём к пределу .

Производной f(x,y) по направлению l в точке M₀ называют число так как , .

Если дана функция трех переменных u=u(x,y,z), точка M₀(x₀,y₀,z₀), l ={x,y,z}. Тогда производная по направлению имеет вид , где направляющие cos: , , .

Определение: Градиентом функции u=u(x,y,z) в точке M₀ называют вектор, имеющий своими координатами значение частных производных функции в точке M₀.

Обозначается: =

С одной стороны производная по направлению равна скалярному произведению градиента функции на вектор l₀: . С другой стороны : = grad u.

Если qrad е , то производная по направлению равна нулю.

Если grad е , то производная по направлению принимает максимальное значение.

Вывод: градиент функции показывает направление наибыстрейшего роста функции в точке.

Дано: функция, точка и вектор

Вычислить: производную по направлению, grad и длину grad.

, M₀(1, 1, 1), l={1, 2, -2}