- •Волгодонский инженерно-технический институт - филиал нияу мифи
- •Функции нескольких переменных.
- •1Функции 2 переменных, способы задания, область определения.
- •2Предел и непрерывность функции 2 переменных.
- •3Частные производные функций 2 переменных и их геометрический смысл.
- •Частные дифференциалы функции двух переменных.
- •Полное приращение функции и полный дифференциал функции двух переменных.
- •Частные производные высших порядков.
- •4Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы 1 дифференциала.
- •5Производная неявной функции.
- •6Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •7Экстремум функции 2 переменных.
- •8Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
- •9Производная по направлению и градиент.
Полное приращение функции и полный дифференциал функции двух переменных.
Дана функция двух переменных , дадим переменной x приращение x, а переменной y приращение y, тогда функция получит полное приращение .
Определение: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции z=Ax+By+ линейная относительно x и y, где A и B – некоторые числа, а -бесконечно малая, имеющая порядок малости выше, чем (-расстояние между точками) .
Таким образом полный дифференциал .
Теорема: Полный дифференциал функции равен сумме его частных дифференциалов: .
Пример: Найти полный дифференциал функции , , = .
Частные производные высших порядков.
Пусть функция двух переменных имеет частные производные и , которые тоже зависят от двух переменных x и y их тоже можно продифференцировать.
Определение: Частная производная от частных производных называются частными производными второго порядка. , , . , , , .
Аналогично можно ввести понятие частного производного 3, 4 и высших порядков.
Теорема: Если функция непрерывна в месте с частным производным до второго порядка включительно, то смешанные производные второго порядка равны между собой.
4Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы 1 дифференциала.
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема по x и по y, дифференцируем по t, тогда функция z в конечном итоге зависит от переменной t, следовательно её можно продифференцировать по t.
разделим dz на dt
Пример:
Инвариантность (неизменность дифференциала первого порядка)
Пусть z=f(x;y) Все функции предполагаются дифференцируемыми. Рассмотрим дифференциал от такой функции. = = |раскроем скобки, перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители du и dv| = = =
Вывод: Форма дифференциала первого порядка не изменяется если функция является сложной. Дифференциалы высших порядков этим свойством не обладают.
5Производная неявной функции.
Неявным заданием зависимости y от x называется уравнение вида F(x, y)=0, связывающее эти две переменные. Общая формула для y’(x), следующая из неявного уравнения F(x, y)=0, включает в себя частные производные. Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция F(x, y) и её частная производная по y непрерывны в G, F(x0, y0)=0, x0, y0 G, Fy(x0, y0)0. Тогда в некоторой окрестности точки x0 существует единственная непрерывная функция f, задаваемая уравнением y=f(x), так, что в этой окрестности F(x, y(x))=0.
При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение F(x, y)=0: .
Таким же способом можно получить формулы для частных производных функций нескольких переменных заданных неявно, например: F(x, y, z)=0 , .
6Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Определение: Плоскость, в которой распложены все касательные к линиям на поверхности, проходящим через точку касания M0, называется касательной плоскостью к поверхности в точке M0.
Если уравнение поверхности задано в виде z=f(x,y), точка M0(x0,y0) и f(x0,y0) принадлежат поверхности, точка M0 – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид: .
Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида F(x,y,z)=0, точка M0(x0,y0,z0) – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Определение: Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Так как нормаль перпендикулярна касательной плоскости, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор нормали на касательной плоскости (координаты вектора нормали - это частные производные.)
Тогда уравнение нормали имеет вид: ;
Пример: Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M0(1,2,-1).