- •1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
- •2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
- •3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
- •7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
- •8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
- •9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.
- •11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
- •12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .
- •13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.
- •14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
- •15. Частные производные (определение, способы вычисления).
- •16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
- •18. Полный дифференциал функции двух переменных.
- •19. Производные сложной функции.
- •20. Определение производной по направлению.
- •21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
- •22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
- •24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
- •25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
- •26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
- •27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
- •28. Таблица интегралов.
- •29. Свойства неопределенного интеграла.
- •30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
- •31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
- •33. Свойства определенного интеграла.
- •34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •35. Формула Ньютона-Лейбница.
- •36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
- •37. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •38. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
- •39. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
- •40. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решение. Начальные условия. Задачи Коши.
- •41. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
- •42. Однородные дифференциальные уравнения.
- •43. Линейные уравнения I-порядка.
14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 2Х ПЕРЕМЕННЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М0. функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной на всей этой области.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Точки в которых нарушается непрерывность называются точками разрыва.
Функция, z=f(x,y) называется НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Множество D точек плоскости называется СВЯЗНЫМ, если его можно соединить непрерывной линией состоящей из точек данного множества.
Точка М называется ВНУТРЕННЕЙ ТОЧКОЙ МНОЖЕСТВА D, если существует окрестность данной точки, состоящая из точек данного множества.
Множество D состоящее лишь из внутренних точек называется ОТКРЫТЫМ.
Связное открытое множество D называется открытой областью.
Точка М называется граничной точкой области. Если в любой её окрестности есть точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области.
Множество точек образованное областью и её границей называется ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТЬЮ.
Множество D называют ОГРАНИЧЕННЫМ, если существует круг, внутри которого оно находится.
ОСНОВЫНЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ: 1) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она ограничена в этой области, т.е. существует такое K, что |f(M)|<K; 2) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она имеет такие точки в этой области, в которых принимает наибольшее и наименьшее значения; 3) если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой, ограниченной области, то она принимает хотя бы в одной точке области любые численные значения между наибольшим и наименьшим.
15. Частные производные (определение, способы вычисления).
Рассмотри функцию z=f(M) в некоторой окрестности точки М. Придадим переменной х произвольное приращение , оставляя у неизменным, т.е. перейдем на плоскости от точки М(х;у) к точке М(х+ . Тогда приращение , т.е. называется частным приращением функции z по переменной х. Аналогично .
Если существует lim отношения частного приращения ф z по переменной х к приращению аргумента х(х ф z по переменой х и обозначается аналогично
16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
Пусть частные производные определены в окрестности точки М. Если существует частная производная от ф. по переменной x , т.е. ( , то такая производная называется 2ой производной функции по переменной x: ( ; (g 2z по gx дважды)
Если существует частная производная от ф. по переменной y , т.е. ( , то такая производная называется 2ой производной функции по переменной y: ( ;
Если существует частная производная от ф. по переменной y , т.е. ( , то её называют 2ой смешанной производной: ( ;
Если существует частная производная от ф. по переменной x , т.е. ( , то её называют 2ой смешанной производной: ( ;
ТЕОРЕМА: Если смешанные частные производные n-го порядка непрерывны в точке, то