Эффект Доплера для звуковых волн
Известно, что при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электропоезда, его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении от наблюдателя – более низким, чем тот же сигнал от неподвижного электропоезда. Это явление впервые теоретически обосновал в 1824 году австрийский физик Христиан Доплер (1803 – 1853).
Звуковой эффект Доплера – это изменение частоты волны, принимаемой приёмником, при движении источника волн или приёмника относительно среды, в которой распространяется волн.
Существует также оптический эффект Доплера. Его мы рассмотрим несколько позже.
Рассмотрим подробнее звуковой эффект Доплера.
Пусть источник и
приемник звука движутся вдоль соединяющей
их прямой
.
Скорости движения источника и приемника
относительно среды, в которой
распространяется волна, обозначим
соответственно
и
.
Скорости положительны, если источник
и приемник сближаются и отрицательны,
если удаляются. Скорость распространения
волны –
.
Частота колебаний источника равна
.
Если источник и приемник покоятся
относительно среды, то частота принимаемого
сигнала будет равна частоте колебаний
источника
.
Если же источник или приемник, или оба
движутся относительно среды, в которой
распространяется волна, то частота
колебаний
,
воспринимаемых приемником, оказывается
отличной от частоты источника:
.
Рассмотрим источник
звука A
и приёмник B.
Пусть они будут неподвижны относительно
друг друга и относительно среды. За 1 с
через наблюдателя (приемник) пройдёт
ν
колебаний.
,
где v
– скорость распространения волны в
среде.
1. Пусть теперь наблюдатель (приёмник) движется к источнику со скоростью vпр.
Ч
ерез
1 с наблюдатель окажется в точке B',
пройдя путь vпр.
Через наблюдателя (приёмник) пройдёт
некоторое количество колебаний (волн)
и плюс ещё столько, на какое число длин
волн он продвинулся.
В общем случае.
Плюс, когда приёмник
приближается, а минус, когда удаляется.
2. Пусть теперь источник движется от наблюдателя со скоростью vист.
З
а
время одного периода T
колебания распространяются на длину
волны λ.
С
ледующее
колебание источник начнёт уже, находясь
в точке A'.
Поэтому волна будет иметь длину λ'.
Так как длина волны изменилась, то, следовательно, изменилась и частота. Она стала равной ν', так как фазовая скорость распространения волны v определяется лишь свойствами упругой среды.
Отсюда имеем.
В общем случае.
В самом общем случае, когда движутся и источник, и приемник, можно записать.
v –скорость звука в среде.
Если источник и приёмник движутся навстречу друг другу, то имеем.
Если они удаляются друг от друга, то можно записать.
Акустический или звуковой эффект Доплера широко используется в гидролокации. Первые гидролокаторы были разработаны в 1916 году во время первой мировой войны совместно французским ученым П. Ланжевеном и россиянином К.В. Шиловским.
Волновое уравнение
В области волновых
процессов существуют уравнения,
называемые волновыми,
которые описывают все возможные волны,
независимо от их конкретного вида. По
смыслу волновое уравнение подобно
основному уравнению динамики, которое
описывает все возможные движения
материальной точки. Уравнение любой
конкретной волны является решением
волнового уравнения. Получим его. Для
этого продифференцируем дважды по t
и по всем координатам уравнение плоской
волны
.
(1)
Отсюда получим.
(*)
(2)
Сложим уравнения (2).
(3)
Заменим в (3) из уравнения (*). Получим.
Учтём, что
и получим.
,
или
.
(4)
Это и есть волновое
уравнение. В этом уравнении
– фазовая скорость,
– оператор набла или
оператор Лапласа.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (4), описывает некоторую волну, причём корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при второй производной смещения от времени, даёт фазовую скорость волны.
Легко убедиться, что волновому уравнению удовлетворяют уравнения плоской и сферической волн, а также любое уравнение вида
Для плоской волны, распространяющейся в направлении , волновое уравнение имеет вид:
.
Это одномерное волновое уравнение второго порядка в частных производных, справедливое для однородных изотропных сред с пренебрежимо малым затуханием.