22. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод разделения переменных.

Определение линейного уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;

• Метод вариации постоянной.

Метод Фурье - один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод собственных функций. Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.При применении метода Фурье удобно использовать следующую лемму.

Если в прямоугольнике R плоскости XOY: для некоторых функций выполняется тождество то в этом случае Доказательство. Предположим противное, т.е. что Тогда существуют значения x1,x2€(a;b) такие, что Рассмотрим точки (x1,y) и (x2,y), принадлежащие прямоугольнику R. На R справедливо тождество (8), а поэтому X(x1)=Y(y),X(x2)=Y(y). Сравнивая эти равенства, приходим к противоречию с нашим предположением. Следовательно X(x) = const, а тогда Y(y)=const.

23. Комплексные числа, алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Формула Эйлера.

Комплексными числами называются выражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:

а) два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда a=c и b=d;

б) суммой чисел a + ib и c + id называется число a + c + i(b +d);

в) произведением чисел a + ib и c + id называется число ac – bd +i(ad+bc).

Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w). Равенство z= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа. Запись комплексного числа в виде называется её тригонометрической формой. Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство: где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.

24. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные). Структура общего решения.

Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида: y''+ρy'+qy=0, (1) у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.

Уравнение K2+ρK+q=0 (2) называется характеристическим уравнением данного уравнения (1). Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (2) следующим образом:

1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1≠К2), и общее решение имеет вид

2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1=К2=К), и общее решение имеет вид:

3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К1=α+βi, К2=α–βi, β≠0), имеет вид y=eαx(C1 cosβx+C2 sinβx).

25. Понятие функции нескольких переменных (на примере функции двух независимых переменных). Область определения и график функции двух переменных.

Определение функции нескольких переменных:

Если каждой упорядоченной паре вещественных чисел из некоторой области D≤R2 поставлено в соответствие единственное число z, то говорят что на области D задана функция двух переменных z=f(x,y)

Областью определения функции называют те значения независимой переменной x, при которых все операции, входящие в функцию будут выполнимы.