4. Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Определение точки перегиба

Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

В окрестности такой точки x 0 график функции y = f (x) слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции так, что с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой - над нею.

В окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной сторон касательной на другую и "перегибается" через нее. Отсюда и произошло название "точка перегиба".

Необходимое условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x0, f(x0)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x0) = 0. Доказательство. Предположим обратное, пусть f "(x0) ≠ 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки x0, в которой f ″(x) < 0 (f "(x) > 0), и, значит график функции y = f (x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(x0; f (x0 )). Полученное противоречие доказывает теорему. Не всякая точка М (x0, f (x0)), для которой f " (x0) = 0, является точкой перегиба. Например, график функции y = f(x) = x4 не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f " (х) = 12·x ² = 0 при х = 0. Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба. Точки М (x0; f (x0)) графика, для которых f "(x0) = 0, будем называть критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует сформулировать достаточное условие перегиба.

Достаточное условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f "(x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x0 интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х0, а график функции имеет касательную в точке С = (х0, f (x0)). Если при переходе через точку х0 вторая производная f "(x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x). Доказательство. Из того, что f "(x0) слева и справа от точки x0 имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x0 является различным. Это и означает наличие перегиба в точке M(x0; f (x0)).

Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 - любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1, f (х1)) и В (х2, f (х2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).

Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 (a, b), а х1 < х2 b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) у (х), х [х1, х2] (a, b):

Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 (a, b), а х1 < х2 b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) у (х), х [х1, х2] (a, b