Простейшая физическая модель равновесных флуктуаций

Всякую физическую систему всегда можно рассматривать как часть некой, пусть даже очень большой, замкнутой системы. Именно замкнутая система обладает одним замечательным свойством. Известно, что, вследствие взаимодействия частиц, замкнутая система проходит все свои микросостояния одинаково часто, т.е. находится в каждом из этих состояний одинаково долго. Значения параметров системы (физических величин), отвечающие этим микросостояниям, могут совпадать, но могут и отличаться между собой. Общим между ними является то, что энергия замкнутой системы во всех микросостояниях одинакова.

Равновесному состоянию отвечает подавляюще большое количество таких микросостояний, в которых значения параметров совпадают. Поэтому в равновесном состоянии система находится подавляюще долго.

Отсюда так же понятно, что, по мере “гуляния” замкнутой системы по всем своим микросостояниям, ее параметры и параметры ее частей – подсистем должны меняться (флуктуировать), поскольку часть этих микросостояний не отвечает равновесному состоянию. И, чем дальше система находится от своего равновесия, тем меньшее число микросостояний отвечает значениям ее параметров и тем реже будет в них находится система.

Пример. Поясним на простом примере, что такое микро и макро – состояния системы.

Система, состоящая из одномерной цепочки намагниченных молекул – простейшая модель физической системы. В отсутствие внешнего магнитного поля направление каждой из молекул, вверх или вниз, - совершенно случайное.

С остояние такой системы характеризуется величиной и направлением вектора результирующего магнитного момента.

Каждое микросостояние всей системы характеризуется указанием направления каждой молекулы. Каждое макросостояние всей системы характеризуется указанием числа молекул направленных вверх и вниз. Общее число микросостояний 2N.

В системе, состоящей из N молекул, число микросостояний, в которой n каких-то молекул направлены вверх и N-n каких молекул направлены вниз, рассчитывается по известной формуле сочетаний из N по n: .

Следовательно, одно макросостояние, в котором n молекул направлены вверх (и N-n направлены вниз), реализуется g(N,n) числом микросостояний. Отсюда также следует, что каждому макросостоянию системы соответствует множество микросостояний.

В нашем примере системе из N=10 молекул общее число микросостояний, в которых n=5 (половина) молекул направлены вверх, будет равно .

Если p-вероятность того, что молекула направлена вверх, и q- вероятность того, что молекула направлена вниз, то вероятность микросостояния, в котором n конкретных молекул направлены вверх, равна pⁿq^N-n (если внешнее магнитное поле равно нулю, то очевидно, что р=q=0,5).

Вероятность макросостояния, в котором n каких-то молекул направлены вверх, будет равна сумме вероятностей всех микросостояний, реализующих данное макросостояние, и эта вероятность вычисляется по формуле: . Равновесному состоянию системы отвечают то значение n, для которого вероятность w максимальна.

Основная формула расчета дисперсии флуктуации

Флуктуации – результат совместного действия огромного числа частиц образующих макросистему. В этом случае, в соответствии с предельной теоремой теории вероятностей, вероятность обнаружить значение величины в бесконечно малом интервале от x до x+dx – элементарная вероятность подчиняется закону Гаусса, причем (2). Без ограничения общности, в теории флуктуаций считают, что <x>=0. Сравнивая (2) с (1), найдем .(3)

Под значением флуктуации параметра х понимают именно значение величины _х. Физический смысл этого параметра состоит в следующем: величина _х – это корень квадратный из среднего квадрата отклонения параметра х системы от его среднего значения.

Отклонения параметра х от своего среднего значения в результате флуктуации могут быть сколь угодно большими по величине. В соответствии с формулой (2), чем меньше отклонение, тем чаще они происходят, и наоборот.

Формулу (3) будем считать основной формулой для расчета интенсивности флуктуаций равновесной системы. Напомним, что A(х) – работа, необходимая для того, чтобы вывести систему из положения равновесия и привести ее данное состояние.