- •Содержание
- •Введение
- •1 Устойчивость сжатых стержней (основные положения теории)
- •1.1 Понятие об устойчивости
- •1.2 Формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня
- •1.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня
- •Р исунок 1.3
- •1.4 Пределы применимости формулы Эйлера
- •1.5 Эмпирические формулы для определения критических напряжений
- •1.6 Расчеты на устойчивость по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения
- •2 Расчетно-проектировочная работа (рпр) № 6 «Устойчивость сжатых стержней»
- •Контрольные вопросы
- •Список использованных источников
2 Расчетно-проектировочная работа (рпр) № 6 «Устойчивость сжатых стержней»
При выполнении РПР № 6 необходимо решить 2 задачи: в задаче № 1 требуется сделать проверку на устойчивость сжатого стержня заданного поперечного сечения с определением коэффициента запаса устойчивости; в задаче № 2 – выполнить проектный расчет, т.е. рассчитать размеры сечения сжатого стержня из условия его устойчивости.
З А Д А Ч А № 1
Дано: тип и размеры сечения (см. рисунок);
м; схема закрепления стержня (см. рисунок);
Материал – сталь 3 ( МПа, МПа, МПа)
Определить критическую силу, допускаемую величину сжимающей силы и коэффициент запаса устойчивости.
Р е ш е н и е:
1. Определяется положение центра тяжести сечения. В данном примере вертикальная ось является осью симметрии сечения, поэтому центр тяжести находится на этой оси. Для определения ординаты центра тяжести сечения выбирается вспомогательная ось ; тогда, разбивая сечение на два прямоугольника, получаем:
где - статический момент сечения относительно вспомогательной оси ;
- площадь сечения;
и - ординаты центров тяжестей прямоугольников, составляющих данное сечение.
Вычисляются главные центральные моменты инерции и сечения как сумма моментов инерции двух прямоугольников:
.
При этом = и = , так как оси , и совпадают.
где - расстояние между осями и ;
- расстояние между осями и .
При этом и , так как оси , и не совпадают.
Таким образом, получено . Так как потеря устойчивости сжатого стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости, то при расчете используется меньшее значение момента инерции, т.е. .
2. Вычисляется гибкость сжатого стержня:
,
где - коэффициент приведенной длины: для заданной схемы закрепления стержня ;
- минимальный радиус инерции сечения.
Вычисляется предельное значение гибкости стержня:
Таким образом, гибкость стержня больше ее предельного значения
3. Определяются значения критической силы и критического напряжения.
Критическая сила вычисляется по формуле Эйлера, так как :
При таком значении сжимающей силы стержень может потерять устойчивость, т.е. изогнуться (изогнутый стержень показан на рисунке штриховой линией).
Критическое напряжение равно:
Примечание: Если получается, что гибкость стержня меньше ее предельного значения , то расчет выполняется по формуле Ясинского Ф.С. Сначала определяется критическое напряжение по формуле:
,
где и - постоянные, зависящие от материала.
Так, например, для стали 3
Затем определяется критическая сила:
4. Определяется по таблице коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на сжатие , зависящий от материала и гибкости стержня (см.таблицу на стр. 17). Для определения значения коэффициента , соответствующего полученной гибкости стержня , выполняется интерполяция табличных значений коэффициента. Рассмотрим некоторую часть таблицы значений коэффициента , взятую для значений гибкости , близких к , то-есть для и (материал – Сталь 3).
-
Гибкость
Коэффициент
Сталь 3
:
:
:
:
170
0,26
180
0,23
187,5
?
190
0,21
200
0,19
Так, если взять за начало отсчета значение (соответствующее ), то коэффициент , соответствующий , будет равен:
Или , если взять за начало отсчета значение (соответствующее ), то искомый коэффициент равен:
,
то-есть в обоих случаях получаются одинаковые значения .
5. Вычисляются допускаемые значения напряжения и сжимающего усилия из условия устойчивости:
Вычисляется коэффициент запаса устойчивости (stability – устойчивость).
Ответ: .
Если данный стержень сжать силой , то будет обеспечен коэффициент запаса устойчивости .
Таблица значений коэффициента
Гибкость
|
Значения для |
Гибкость
|
Значения для |
|||||
стали марок 3 и 4 |
стали марки 5 |
чугуна |
дерева |
стали марок 3 и 4 |
стали марки 5 |
дерева |
||
0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
110 |
0,52 |
0,43 |
0,25 |
10 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,99 |
120 |
0,45 |
0,37 |
0,22 |
20 |
0,97 |
0,96 |
0,91 |
0,97 |
130 |
0,40 |
0,32 |
0,18 |
30 |
0,95 |
0,93 |
0,81 |
0,93 |
140 |
0,36 |
0,28 |
0,16 |
40 |
0,92 |
0,89 |
0,69 |
0,87 |
150 |
0,32 |
0,25 |
0,14 |
50 |
0,89 |
0,85 |
0,57 |
0,80 |
160 |
0,29 |
0,23 |
0,12 |
60 |
0,86 |
0,80 |
0,44 |
0,71 |
170 |
0,26 |
0,21 |
0,11 |
70 |
0,81 |
0,74 |
0,34 |
0.60 |
180 |
0,23 |
0,19 |
0,10 |
80 |
0,75 |
0,67 |
0,26 |
0,48 |
190 |
0,21 |
0,17 |
0,09 |
90 |
0,69 |
0,59 |
0,20 |
0,38 |
200 |
0,19 |
0,16 |
0,08 |
100 |
0,60 |
0,50 |
0,16 |
0,31 |
|
|
|
|
З А Д А Ч А № 2
Дано: ;
Схема закрепления стержня (см.рисунок);
сечение прямоугольное ( );
материал – древесина:
.
Рассчитать размеры сечения и из условия устойчивости стержня.
Р Е Ш Е Н И Е
Для удобства вычислений выразим величины, которые будут использоваться при расчете, через один и тот же параметр – например, ширину сечения .
Площадь сечения ;
отсюда ;
Главные центральные моменты инерции сечения:
;
.
Отсюда следует, что , то-есть
Минимальный радиус инерции сечения:
Гибкость стержня:
;
где - коэффициент приведения длины; для заданного способа закрепления стержня .
Расчетная формула (условие устойчивости) имеет вид: ,
где - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие.
Отсюда требуемая площадь сечения равна: ;
В этой формуле 2 неизвестных ( и ), и задача решается путем последовательных приближений. Вначале задается произвольное значение .
1. Пусть
Тогда
Теперь по таблице определяется коэффициент с применением метода интерполяции. Рассмотрим часть таблицы (стр.17) значений коэффициента , взятую для значений гибкости , близких к , то-есть для и (материал – древесина). Беря, например, за начало отсчета значение ,
соответствующее , получим для :
.
|
Коэффициент |
Древесина |
|
: |
: |
: |
: |
40 |
0,87 |
50 |
0,80 |
60 |
0,71 |
70 |
0,60 |
: |
: |
Для оценки полученного результата сравниваются допускаемые напряжения из условия устойчивости и действующие (фактические) напряжения.
Допускаемое напряжение из условия устойчивости:
Действующее (фактическое) напряжение:
Таким образом, получено в 1,56 раза, т.е. сечение недогружено.
2. Значение коэффициента берется как среднее арифметическое значение между заданным и полученным из таблицы .
Теперь расчет повторяется в порядке, показанном при выполнении п.1.
По таблице методом интерполяции определяется :
Допускаемое напряжение из условия устойчивости:
Действующее (фактическое) напряжение:
.
Получено в 1,13 раза, т.е. на 13 %, значит расчет необходимо продолжить (допускаемая разница равна ).
3. Значение коэффициента берется как среднее арифметическое значение между и :
Расчет снова повторяется в порядке, показанном при выполнении п.п.1 и 2.
Полученное значение округляется до
Тогда
По таблице методом интерполяции определяется
Допускаемое напряжение из условия устойчивости:
Действующее (фактическое) напряжение:
Получено в 1,014 раза, т.е. на 1,4 %. Таким образом, можно считать, что , и расчет на этом заканчивается.
Ответ:
З А Д А Ч А № 2-а
Дано: ;
Схема закрепления стержня (см.рисунок);
сечение двутавровое; материал – сталь Ст.3
.
Определить требуемый номер двутавра из условия устойчивости стержня.
Р Е Ш Е Н И Е:
Требуемая площадь сечения определяется по формуле, использованной ранее при решении задачи № 2:
;
Задача решается путем последовательных приближений. Вначале задается произвольное значение .
Пусть
Тогда .
Согласно таблице ГОСТ 8239-89 принимаем двутавр № 60, у которого площадь сечения ; минимальный радиус инерции сечения
Гибкость стержня при этом равна:
,
где - коэффициент приведения длины; для заданного способа закрепления стержня .
По таблице определяется коэффициент ( для гибкости и материал – сталь Ст.3).
Теперь сравниваются допускаемые напряжения из условия устойчивости и действующие (фактические) напряжения.
Допускаемые напряжения из условия устойчивости:
Действующее (фактическое) напряжение:
Таким образом, получено , в 1,1 раза то-есть устойчивость стержня не обеспечивается (перегрузка составляет 10 %).
Так как в результате выполненного по п.1 расчета значения допускаемых напряжений и действующих напряжений отличаются незначительно (на 10 %), то можно взять из таблицы ГОСТ 8239-89 следующий по порядку номер двутавра (больший номер), и проверку условия устойчивости повторить по вышеуказанной методике.
Принимаем двутавр № 65, у которого ; .
Тогда
По таблице определяется коэффициент .
Допускаемое напряжение из условия устойчивости:
Действующее (фактическое) напряжение:
Получено в 1,13 раза, то-есть стержень недогружен на 13 %. Однако, этот результат расчета необходимо принять, так как при ближайшем меньшем номере двутавра (№60), как показано при выполнении
п. 1, устойчивость стержня не обеспечивается.
Ответ: двутавр № 65.