- •Содержание
- •Введение
- •1 Устойчивость сжатых стержней (основные положения теории)
- •1.1 Понятие об устойчивости
- •1.2 Формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня
- •1.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня
- •Р исунок 1.3
- •1.4 Пределы применимости формулы Эйлера
- •1.5 Эмпирические формулы для определения критических напряжений
- •1.6 Расчеты на устойчивость по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения
- •2 Расчетно-проектировочная работа (рпр) № 6 «Устойчивость сжатых стержней»
- •Контрольные вопросы
- •Список использованных источников
1.5 Эмпирические формулы для определения критических напряжений
Стержни с гибкостью меньше очень часто встречаются в машинах и инженерных сооружениях. Поэтому необходимо и такие стержни уметь рассчитывать на устойчивость. Существуют приближенные теоретические методы решения задачи, но эти методы в силу своей сложности мало пригодны для практики.
В этих случаях значительно большее применение имеют эмпирические формулы различных авторов, полученные на основе большого экспериментального материала. Так, например, профессор Ф.Ясинский собрал и обработал обширный опытный материал по устойчивости стержней, в результате чего предложил простую эмпирическую формулу для вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности:
, (1.14)
где a и b - коэффициенты, зависящие от материала. Например, для стали Ст.3 при коэффициенты a=310 МПа, b=1,14 МПа; для древесины (сосна) при коэффициенты a=29,3 МПа, b=0,194 МПа; для чугуна при коэффициенты a=776 МПа, b=12,0 МПа; и т.д.
Для чугуна рекомендуется пользоваться параболической зависимостью:
, (1.15)
где с=0,53.
Стержни, у которых гибкость очень незначительна ( ), называют стержнями малой гибкости. Их рассчитывают только на прочность, используя условие прочности при сжатии, без учета опасности возникновения потери устойчивости. Например, для стальных стержней можно принять .
Таким образом, применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале гибкостей , которые встречаются на практике.
1.6 Расчеты на устойчивость по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения
Вместо двух формул (Эйлера и Ясинского), каждая из которых пригодна для определенного диапазона гибкостей, удобнее иметь одну формулу, которой можно было бы пользоваться при любой гибкости стержня. В настоящее время широким распространением пользуется метод расчета по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения.
Расчет сжатых стержней на устойчивость можно по форме привести к расчету на простое сжатие, принимая в качестве допускаемого некоторую часть от критического напряжения:
, (1.16)
где - допускаемое напряжение на устойчивость;
- коэффициент запаса устойчивости.
Обычно выражают через основное допускаемое напряжение на сжатие для данного материала:
, (1.17)
где - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие.
Основное допускаемое напряжение на сжатие равно:
, (1.18)
где - коэффициент запаса прочности;
- предельное напряжение, принимаемое равным пределу текучести для пластичных материалов и пределу прочности для хрупких материалов.
Связь между коэффициентом , критическим напряжением , предельным напряжением и коэффициентами запаса прочности и устойчивости можно установить следующим образом:
, откуда .
Теперь, используя формулу (1.18), получим:
. (1.19)
Из формулы (1.19) следует, что коэффициент всегда меньше единицы так как всегда меньше значений или а значение коэффициента запаса устойчивости принимают несколько выше значения
Величина коэффициента , как видно из формулы (1.19), зависит от материала стержня и от его гибкости. Значения коэффициента для некоторых материалов при различной гибкости приведены в таблице 1.1. Таблица дана в сокращенном виде: обычно данные приводятся через каждые 10 единиц величины гибкости , (см. таблицу на стр. 17) а если требуется определять какие-то промежуточные значения, то используют известный из математики метод линейной интерполяции.
Таблица 1.1 Значения коэффициента снижения основного допускаемого напряжения
Гибкость
|
Значения для материалов |
|||||
Сталь |
Чугун |
Дерево |
Бетон |
Железо- бетон |
Каменная кладка |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
10 |
0,99 |
0,97 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
100 |
0,60 |
0,16 |
0,31 |
0,45 |
0,52 |
0,47 |
150 |
0,32 |
- |
0,14 |
- |
- |
0,28 |
200 |
0,19 |
- |
0,08 |
- |
- |
- |
Решение задачи по расчету сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту проводят следующим образом.
Если даны размеры поперечного сечения, длина и способы закрепления его концов, задача сводится к определению допускаемой нагрузки из условия устойчивости стержня. При этом:
а) по форме и размерам поперечного сечения находится ;
б) определяется гибкость, которой обладает данный стержень ;
в) по таблице 1.1, зная материал, находится коэффициент ;
г) зная или задавшись допускаемым напряжением на простое сжатие, определяется допускаемая нагрузка на стержень
.
Если даны форма поперечного сечения, длина стержня, способы его закрепления и приложенная сжимающая сила, необходимо подобрать сечение стержня из условия устойчивости. Задача решается в следующей последовательности:
а) в первом приближении выбирается произвольное значение , так как гибкость неизвестна, ибо неизвестна площадь сечения , а гибкость зависит от нее (в качестве первого приближения рекомендуется принимать = 0,4…0,6);
б) зная , по известной нагрузке и определяется площадь сечения
;
в) по известной форме сечения находится и гибкость ;
г) из таблицы 1.1 по этой гибкости и материалу стержня определяется соответствующее значение . Если получается большая разница между значениями и , то следует повторить расчет (выполнить второе приближение), задавшись новым значением и т.д. Расчет выполняется до тех пор, пока разница между последовательными значениями не будет превышать 4…6%.
Отметим, что при составлении таблиц коэффициентов предусмотрено получение при расчетах значений коэффициентов запаса устойчивости, равных: .