22)Вывод формулы для определения напряжений при внецентренном растяжении или сжатии.

Т.к. при нецентренном растяжении сжатии, элемент конструкции испытывает чистый косой изгиб и осевое растяжение или сжатие, в материале возникает только нормальное напряжение.

Выбираем точку и определим напряжение в этой точке используя принцип суперпозиции.

комплексные напряжение, которые возникают в результате растяжеия или сжатия.

Распишем формулу.

преобразуем

формула для определения нормальных напряжений при нецентренном растяжении или сжатии.

; –квадранты главных радиусов инерции.

При расчетах элементов конструкции положительное положение координатных осей выбираем таким образом , чтобы приложения силы всегда располагалось в 1 квадранте.

Знак “-” указывает на то, что внешняя сила сжимающая, если внешняя сила растягивающая, то перед скобкой ставим знак + .

24) 25) 26) Действие изгиба и кручения в случаи стержней с не круглым сечением:

В случаи совместного действия кручения и изгиба в стержнях с прямоугольным поперечным сечением, волокна на рёбрах находятся в одноосном напряжённом состоянии и испытывают растяжение или сжатие. И поэтому проверка прочности этих волокон выполняется по методики осевого напряженного состояния. А именно:

В точках посередине граней материал находится в плоском напряжённом состояние и поэтому проверку прочности необходимо выполнять по одной из гипотез.

; ;

Для проверки возьмём 7 точку и проверим по 3 гипотезе:

По аналогу можно написать и для 6 точки:

При совместном действии изгиба и кручения в стержнях с прямоугольным поперечным сечением первоначальные размеры поперечного сечения наиболее целесообразно определять из условия прочности записанного для ребра стержня по методике косого изгиба с последующей проверкой прочности в точке по середине одной из граней.

27) Интеграл Максвелла-Мора.

выражение для расчета перемещений упругой системы по методу Максвелла-Мора в виде:

Внутренние усилия, которые возникнут в балке от этой силы, обозначим N1, Mx1, Mи1, Q1.

Внутренние усилия от внешних нагрузок (без учета фиктивной силы Φо) обозначим следующим образом

Nр, Mхр, Mир, Qр.

Таким образом, для того чтобы определить перемещения методом Максвелла-Мора, необходимо:

1) рассмотреть «грузовую» систему, нагруженную только внешними силами (без учета фиктивных сил), и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

2) рассмотреть «единичную» систему, нагруженную только одной силой – единичной силой Φ1=1, приложенной в том направлении и в той точке, где требуется найти перемещение, и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

3) подставить найденные внутренние усилия в интеграл Максвелла-Мора и найти перемещение.

Отметим, что для многих стержневых систем действием осевого усилия N и поперечных сил Q можно пренебречь.

29) Устойчивость сжатых стержней. Вывод формулы Эйлера.

Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится вернуться к первоначальному состоянию и возвращается к нему при удалении внешнего воздействия. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической нагрузкой Ркр(критической силой). Допускаема нагрузка [P]=Pкр/ny, ny– нормативный коэффициент запаса устойчивости. Приближенное дифференциальное ур-ние упругой линии:

EJmin=d(*2)y/dx(*2)=M(x), Е –модуль упругости материала стержня, М – изгибающий момент, Jmin– наименьший момент инерции сечения стержня. При потере устойчивости прогиб, как правило, происходит перпендикулярно к оси наименьшей жесткости, относительно которой — J=Jmin. Рассматривается приближенное диффное ур-ие, т.к. потеря устойчивости возникает при малых деформациях. M=-Py, получаем однородное дифф-ное уравнение: (d(*2)y/dx(*2))+k(*2)y=0, где k(*2)=P/EJmin. Решая дифф-ное ур-ие находим наименьшее значение критической силы – формула Эйлера:

Pкр=Пи(*2)EJmin/L(*2) – формула дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами.

Область применения формулы Эйлера

Одним из ограничений принятых Эйлером было принято то , что материал находится в упругом состоянии т.е. критические напряжения не могут превышать предела пропорциональности. Поэтому принимаем равным критическим напряжениям определяем предельную гибкость, гибкость при которой ещё применима формула Эйлера

П оэтому если действительная гибкость ≥ предельной, то расчёты выполняются по формуле Эйлера .

30)Устойчивость сжатых стержней: гибкость стержня, предельная гибкость, формула Ясинского, расчёты на устойчивость.

Гибкость стержня — отношение расчетной длины стержня l0 к наименьшему радиусу инерции i его поперечного сечения. Это выражение играет важную роль при проверке сжатых стержней на устойчивость. В частности, от гибкости зависит коэффициент продольного изгиба φ. Стержень с большей гибкостью, при прочих неизменных параметрах, имеет более низкую прочность на сжатие и сжатие с изгибом.Расчетная длина l0 вычисляется по формуле:l0 = μl, где, μ — коэффициент, зависящий от условий закрепления стрежня, а l — геометрическая длина. Расчетная длина, также называется привиденной или свободной.Понятие приведенная длина впервые ввел Ясинский, для обобщения формулы критической силы Эйлера, которую тот выводил для стержня с шарнирно-опертыми концами. Соответственно коэффициент μ равен при шарнирных концах(основной случай) одному, при одном шарнирном, другом защемленным μ = 0.7, при обоих защемленных концах μ = 0,5. Схемы деформирования и коэффициенты μ при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки, изображены на рисунке. Также, стоит отметить, что формула Эйлера верна только для элементов большой гибкости, например для стали она применима при гибкостях порядка λ = 100 и выше. При расчетах элементов железобетонных конструкций к гибкости предъявляются требования по её ограничению. Также, в зависимости от гибкости назначается величина армирования.В расчетах стальных конструкций гибкость имеет наибольшее значение ввиду большой прочности стали с вытекающей из этого формой элементов(длинные, небольшой площади) из-за чего исчерпание несущей способности по устойчивости наступает до исчерпания запаса прочности по материалу. Если гибкость стержня меньше предельного значения - область ВС на рис. 8.3), то формула Эйлера становится неприменимой, так как критические напряжения превышают предел пропорциональности и закон Гука неприменим. В этих спучаях критическое напряжение определяют по эмпирическим формулам, полученным на основании опытов и приведенных в справочниках. Одна из этих формул - формула Ясинского: где а, b и с - коэффициенты, зависящие от свойств материала.Для малоуглеродистой стали коэффициенты равны где F - площадь поперечного сечения стержня.

Для коротких стержней, гибкость которых , расчет на устойчивость не производят. Предельное значение гибкости можно найти из условия , где - предел текучести материала стержня.