- •1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:
- •2.Действия над матрицами.
- •3.Обратная матрица. Пример.
- •7.Линейные операции над векторами.
- •8.Скалярное произведение векторов. Свойства.
- •12.Смешанное произведение векторов.
- •13.Функция. Основные понятия.
- •14.Пределы числовой последовательности.
- •17.Бесконечно малые функции и их свойства.
- •18. Бесконечно-большие функции и их свойства.
- •19. Основные теоремы о пределах.
- •20. Первый замечательный предел.
- •21. Второй замечательный предел.
- •23.Точки разрыва.
- •26.Таблица производных.
- •27.Основные прав ила дифференцирования.
- •Производная обратной функции
- •29.Дифференциал функции и его основные свойства.
- •30. Теоремы о дифференцируемых функциях.
- •31.Правило Лопиталя.
- •Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .
- •35.Прямая на плоскости. Способы задания.
- •36. Плоскость. Способы задания.
- •38.Взаимное расположение прямых.
- •39.Эллипс и его характеристики.
- •40. Гипербола.
- •44.Таблица интегралов.
- •48.Интегрирование по частям.
- •50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:
- •Вычисление
- •58.Длина дуги.
1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:
|
|
состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размера или -матрицей.
Матрицу будем обозначать или . Числа называются элементами матрицы, индекс обозначает номер строки, а индекс ‑ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.
Если , то матрица называется квадратной матрицей порядка .
В квадратной матрице -го порядка диагональ, состоящая из элементов называется главной диагональю, состоящая из элементов ‑ побочной диагональю.
Квадратная матрица:
называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. , то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой называется единичной и обозначается буквой . Например, единичная матрица третьего порядка:
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.
Матрицы и называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.
2.Действия над матрицами.
Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .
Сложение матриц обладает следующими свойствами:
Коммутативность, т.е. .
Ассоциативность, т.е. .
Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .
Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .
Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:
; ; ; (ассоциативность); (дистрибутивность); (дистрибутивность).
Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .
Свойства умножения:
Если матрица согласована с матрицей , а матрица согласована с матрицей , то ‑ ассоциативность умножения;
‑ свойство дистрибутивности;
Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .
3.Обратная матрица. Пример.
Пусть - квадратная матрица порядка . Матрица называется обратной матицей к матрице , если выполняются равенства , где ‑ единичная матрица порядка .
Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.Пусть и ‑ матрицы, обратные к матрице . Тогда , с другой стороны, . Откуда . Обратную матрицу к матрице обозначают . Теорема 2. Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .Пусть имеет обратную матрицу. Тогда и, применяя теорему об умножении определителей, получаем или . Следовательно, .Пусть . Укажем явное выражение матрицы через элементы матрицы , а именно: если , то:
, |
здесь ‑ алгебраическое дополнение к элементу . Матрица получается из матрицы следующим образом. Сначала вместо каждого элемента пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную .Непосредственное умножение на матрицу слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, матрица, обратная к .
4.Теорема Кронекеля-Копеля.?Ответ о совместимости системы линейных ур-ний дает теорема Кронекеля-Конеля.Система совместима тогда и только тогда когда ранг матрицы А =рангу матрицы .Для того чтобы установить совместность системы нужно:1)найти ранг матрицы основной(r(A));2)найти r( ).Тогда если: 1)если r(A)= r( )=n,где n-число неизвестных,то система имеет ед. решение.2)если r(A)≠ r( ),то система не совместна и нет решений.3)если r(A)= r( )<n,то бесконечно много решений,в этом случае систему преобразуют так чтобы остались лишь уравн. коэф-ты при неизвестных у котор. образ. базисный минор. В оставшихся уравн. в левой части оставл. только те неизвестные (их наз. главными)коэф-ты при которых образуют базисный минор, все остальные неизвестные (свободные неизв.) переносят в правую часть и придавая разные значения свободным неизвестным мы будем получать частные решения.
5.Векторы.Основные понятия. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:
направлением;длиной (модулем).
Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, , или двумя буквами со стрелкой , где точка есть начало вектора (его точка приложения), а ‑ его конец.
Длина вектора называется его модулем, обозначается или и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .
Два вектора называются равными, если:
равны их длины;
они параллельны;
они направлены в одну сторону.
Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .
6.Способы задания векторов.1 сп.) Задание векторов координатами.О.1.Координатами в ДПСК принято называть проекцией вектора на соотв. координатные оси. Напр: = (2;3) - на плоскости; =(2;3;4)-в пространстве.2 сп.)Направление вектора можно задать указав углы что образуют вектор соотв.осями координат с OX-α,OY-β,OZ-γ(в пространстве).3 сп.)Задание вектора,указав начало и конец,двумя точками A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2). 4 сп.)Задание вектора через составляющие: