- •Она определенна в (.) х0 ;
- •8.Точки разрыва функции
- •10. Производная сложной функции
- •12.Производная высших порядков.
- •14.Исследование функции на вогнутость, выпуклость.
- •15.Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами
- •16.Определение скалярного произведения векторов.
- •17. Скалярное произведение в координатной форме.(формула)
- •19.Векторное произведение векторов в координатной форме(формула)
14.Исследование функции на вогнутость, выпуклость.
Графиком функции , заданной на множестве , называют множество точек плоскости с координатами . График называют выпуклым вниз на промежутке , если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.
Если на промежутке вторая производная положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .
Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда , либо не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.
I правило. Если равна нулю или не существует и при переводе через точку меняет знак, то ‑ точка перегиба графика функции .
II правило. Если и , то является точкой перегиба графика функции .
15.Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами
Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы и сносятся в общую точку (рис. 4.1), на них строят параллелограмм и его диагональ называют суммой векторов и .
Рис. 4.1.
Поскольку вектор равен , то можно дать другое правило нахождения суммы (правило треугольника): суммой векторов и является вектор, идущий из начала в конец , если вектор приложен к концу вектора , т.е.:
|
(4.1) |
Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:
|
(4.2) |
В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .
Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения ‑ сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.
Разностью двух векторов и , отложенных от одной точки является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е. (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. , то .
Рис. 4.2.
Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).
Вектор равен , где ‑ некоторое число, если:
коллинеарен ;
длина вектора отличается от длины вектора в раз, т.е. ;
при , и направлены в одну сторону, при ‑ в разные.
Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:
;
;
;
;
.
16.Определение скалярного произведения векторов.
Скалярными произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
;
;
;
Если и ‑ ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между и - острый, если , то угол - тупой;
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. .
Следовательно, .