- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
13.Основные характеристики случайных процессов
Основными хар-ками СП явл. мат. ожидание, дисперсия, корреляционная функция.
Пусть Х(t) СП, определ. на мн-ве Т.
Опр. Мат. ожид. СП Х(t) наз. Неслучайная функция m(t), которая при каждом допустимом значении аргумента t равна мат. ожид. соотв-го сечения, т.е. m(t)=M{X(t)}.
Опр. Дисперсией СП Х(t) наз. Неслучайная функция D(t), кот. при каждом допустимом значении аргумента t равна .
Опр. Корреляционной функцией СП Х(t) наз. неслучайная функция , которая для любой пары равна ковариации соответствующих сечений.
Корреляционная функция является хар-кой связи между сечениями СП.
Свойства корреляционной функции:
Свойство симметрии
1.
2.K(t,t)=D(t)
Нер-во Коши-Буняковского:
3.
14.Классификация случайных процессов.
Первым признаком, который м.б. положен в основу классификации СП является зависимость или не зависимость свойств этих процессов от начала отсчета времени:
Стационарные СП
Нестационарные СП
Опр. СП Х(t) определенный на множестве Т наз. стационарным (в уз. см.), если при все его n-мерные законы распр-ния не зависят от сдвига во времени на произв. величину , т.е. имеет место рав-во
(*)
Для стационарного (в узком смысле) СП в частности имеем:
Для одномерного закона распр-ния: .
Одномерный закон распр-ния не зависит от момента времени, для кот. он рассматривается.
Для двумерного закона:
Двумерный закон распр-ния зависит от разности между моментами времени и не зависит от начала отсчета времени.
Сл.: МО и дисперсия стационарного (в уз. смысле) СП явл. Постоянными величинами, а КФ зависит от разности момента времени, а не от самих моментов:
1.
2. (**)
3.
Т.к. корреляционная функция любого СП симметрична, то для стационарного (в уз. см.)
Процесса имеем: Равенства (**) являются необходимыми, но не достаточными условиями стационарности (в уз. см.).
Опр. СП X(t) наз. стационарным (в шир. см.), если для него вып. св-ва (**).
Вторым признаком, кот. м.б. полжен в основу классификации СП явл. вид закона распр-ния. Наиболее часто встречается нормальный (или Гауссовский) з-н распр-ния.
Опр. СП X(t) наз. нормальным (Гауссовским), если все его n-мерные законы распр-ния нормальные.
Третьим признаком, кот. м.б. положен в основу классификации СП явл. зависимость дальнейшего поведения СП от его значений в настоящий и предшествующий момент времени. Напр., Марковский процесс обладает тем свойством, что в каждый момент времени дальнейшее поведение этого процесса обусловлено его состоянием в данный момент и не зависит от поведения процесса в предшествующий период.
СП классифиц. другим признаком, например, выделяют класс с СП с независимыми приращениями.
Опр. Пусть СП X(t) определенный при . X(t) наз. процессом с независимыми приращениями, если и , таких что .
- независимые СВ.
Еще один класс СП – класс однородных СП.
Опр. Пусть X(t) СП определенный при . X(t) наз. однородным, если закон распр-ния СВ зависит лишь от , но не зависит от t.
15. Непрерывность случайных процессов.
Пусть СП определен на инт. , .Пусть -некот. СВ.
Опр. Говорят, что СП сходится в среднеквадратичном при к СВ (обозначается ),если
Опр. для непрерывности СП на инт. необх. и дост., чтобы его мат. ожидание было непрерывно на инт. , а его кореляц. ф-ия была бы непрерывной на диагонали .