2.10 Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.

Знакомство с триг материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоуг треуг-ком. Понятия , и острых углов треуг-ка вводится для углов от до , как отношение сторон этого треуг-ка. Предварительно уч-ся должны усвоить назван сторон прямоуг треуг-ка: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолеж прямому углу). Для этого необход предложить уч-ся назвать стороны прямоуг треуг-ков, разнообразных по располож вершин прямого угла.

Первым вводится понятие угла и доказ-ся теорема: " Косинус угла зависит от град меры угла и не зависит от располож и размеров треуг-ка". Это опред уже " работает" при док-ве т. Пифагора. С остальными понятиями (sin , tg ₎ уч-ся знакомятся в пункте " Соотношения м-ду сторонами и углами в прямоуг треуг-ке".

Ф ормируется св-во: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла. Для синуса это доказ-ся так: = ,

т.к. зависит только от величины угла, то и синус зависит только от велич угла.

Из определений , и получаем след правила:

• Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;

• Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;

• Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .

По этим правилам можно находить неизвестные эл-ты в прямоуг треуг-ке. Эти правила могут быть выведены уч-мися самостоят. Для этого предлаг вопросы: В прямоуг треуг-ке MNP, LN= , LM= , гипотенуза MP=m. Н-ти длины катетов этого треуг-ка. ( Задача решается по опред).

Раньше по программе триг ф-ции и соотношен м-ду углами и сторонами в прямоуг треуг-ке изуч в 8 кл.

После введения понятий , и рассматр решения основн задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти A, B, c. Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти A, B, b.

Задача №3. Дано: a, A. Требуется найти A, b, c. Задача №4. Дано: a, B. Требуется найти A, b, c.

Задача №5. Дано: a, A. Требуется найти B, a, b.

По действ программе эти задачи в курсе 8 кл (бывший 7 кл) заменены такой: в прямоуг треуг-ке даны: гипотен c и острый угол . Н-те катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотен.

Вводятся основ триг тождества: , , , .

Основное триг тождество вывод из формулир т. Пифагора: , .

Уч-ся знакомятся с некот св-вами ф-ций острого угла: 1) при возрастании острого угла и возраст, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; к-ые формул-ся как теоремы. Их док-во связывается с соотношениями острых углов в прямоуг треуг-ке:

, , тогда , , тогда из равенства правых частей получаем:

.

, тогда .

Вывод св-ва возрастания и убывания выглядит так:

П усть и - острые углы, и , и она пересекает стороны углов и в точках и соответственно.

Т.к. , то т. лежит м-ду точками и , тогда . А значит, по св-ву наклонных, (ч-з сравнение их проекций). Так как , , то косинус убыв. А так как , то синус возраст.

Основными целями изучения тригонометрических функций числового аргумента являются:

1) ознакомление учащихся с новым видом трансцендентных функций;

2) развитие навыков вычислит практики;

3) наглядная иллюстрация всех основных св-в ф-ций (в особенности периодичности);

4) установление межпредметн связей с практикой (колебан маятника, электр ток, волнов теория света);

5) развит логич мышления (обилие формул порождает необход преобразований не алгебраич характера, к-ые носят исследоват характер).

В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы:

I. Первое знакомство с триг ф-циями углового аргумента в геометрии. Значение аргумента рассматр в промежутке (0°;90°). На этом этапе уч-ся узнают, что sin, сos, tg и ctg угла зависят от его град меры, знакомятся с табличн значениями, основным триг тождеством и некот формулами приведения.II. Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0°;180°). На этом этапе рассматр взаимосвязь триг ф-ций и координат точки на пл-ти, доказыв теоремы синусов и косинусов, рассматр вопрос решения треуг-ков с помощью триг соотношений.III. Введение понятий тригонометрических функций числового аргумента.

IV. Систематизация и расширение знаний о триг ф-циях числа, рассмотр графиков ф-ций, проведение исследования, в том числе и с помощью производной.

Сущ неск-ко способов опред триг ф-ций. Их можно подразделить на 2 группы: аналитич и геометрич. К геометр способам относят опред триг ф-ций на основе проекций и координат радиус-вектора, опред ч-з соотнош сторон прямоуг треуг-ка и опред с помощью числовой окр-ти. В шк курсе предпочтен отдается геометрич способам в силу их простоты и наглядности.

В наст время вопросы тригонометрии изучаются в 10-11 классах в рамках 85 - часового курса "Алгебра и начала анализа". В разных вариантах тематических планов, опирающихся на учебники разных авторов, отводится от 15 до 28 часов; при этом в основном ставятся следующие цели:

- ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла;

- систематиз, обобщить и расширить уже имеющиеся у уч-хся знания о триг ф-циях углового аргумента;

- изучить свойства тригонометрических функций;

- научить уч-хся строить графики триг ф-ций и выполнять некоторые преобразования этих графиков.В соврем уч пособиях предпочтение отдается опред с помощ единичн окр-ти. Введение понятий синуса и косинуса «по окр-ти» приводит к трудностям при дальнейш обучении: многие уч-ся испытывают затрудн с геометрич истолкованием «триг языка». Система задач содержит задания на перевод из град меры в рад и наоборот, построение углов на единич окр-ти, движение точки по окр-ти, определ триг ф-ций, исследов и построен графиков комбинаций триг ф-ций, нахожд знач триг ф-ций в некот точках и их знаков на некот промежутках, нахожд производных комбинаций триг ф-ций и вычисл приближ значений триг ф-ций.