2.5 Методика изучения четырехугольников и их свойства.

В пособиях осуществляется одинаковый подход во введении частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:

дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников);

указываются элементы;

формулируются и доказываются свойства и признаки;

рассматривается задача на построение этого четырехугольника.

Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других - квадрат определяется как частный вид прямоугольника. В большинстве учебников трапеция рассматривается после параллелограмма и его частных видов. Тема имеет большие возможности для развития логического мышления.

· легко выявляется логическая структура темы. Полезно использовать структурно-логические схемы;

· используются формально-логические определения (через ближайший род и видовое отличие).

Определить понятие, значит перечислить его существенные свойства, а это зачастую бывает нелегко. Однако, задача упрощается, если использовать ранее изученные понятия. Сказанное обусловило способ определения понятия, называемый «через ближайший род и видовое отличие». Конструирование определения этим способом заключается в следующем:

1. Указывается род, в который входит определяемое понятие как вид.

2. Указываются видовые отличия и связь между ними.

Пример: трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Род - четырехугольник. Видовое отличие, - у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Изучение свойств и признаков четырехугольников

Изучение свойств четырехугольников обычно не вызывают затруднений. При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей, признаки параллельности. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: например, предложить ученику дать определение прямоугольника через понятие четырехугольника, параллелограмма и т.д. учащимся по силам самим установить, а затем и доказать различные свойства и признаки параллелограмма и трапеции.

При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, не верно строят логические цепочки, умозаключения.

2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.

Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды, на двух различных уровнях.

На первом, экспериментальном, уровне в начальных классах учатся измерять длины отрезков, площади простейших плоских фигур и объёмы простейших пространственных тел.На этом уровне не дается определений длины, площади и объема. Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуитивные понятия.

Изучение геом вел-н проходит через весь курс математики. В начальной школе уча-ся должны знать обозначения и названия единиц длины и площади. Уметь измерять длину отрезка и ломаной, строить отрезок данной длины, вычислять периметр и площадь прямоугольника. В 5 классе расширяются представления об измерении геометрических величин на примере вычисления S и V. Вводится понятие метрической системы мер в связи с изучением десятичных дробей, изучается градусная мера углов при которых за единицы измерения принимается угол в 1 градус. В 7 классе формулируются основные свойства измерения отрезков: каждый отрезок имеет определенную длину > 0, длина отрезка равна сумме длин частей на которые он разбивается в любой его точке. Аналогичные свойства формулируются для измерения углов: развернутый угол = 180 градусов. В 9 классе вводится понятие площади следующим определением: площадь это положительная величина обладающая следующими свойствами: 1. равные фигуры имеют равные площади. 2. если фигуры разбиваются на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры =сумме площадей ее частей (простой называют фигуру, разбивающуюся на конечное число треугольников). 3. площадь квадрата со стороной =ед.изм. =1ед. далее дается определение площади произвольной фигуры не являющейся простой: фигура имеет площадь, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями как угодно мало отличающимися от данной. Это определение применяется при нахождении площади фигуры. В 11 классе вычисляются площади поверхностей тел. Аналогично вводится понятие объема. При выводе формул объема широко применяются приближенные вычисления и интуитивные представления учащихся о предельном переходе. Вывод формулы шара и его частей проводится с использованием общей формулы для объемов форм вращения. Это целесообразно связать с интегралами. При измерении геом величин в школьном курсе можно выделить три метода. 1. непосредственное измерение (линейки, транспортиры палетки). 2. косвенное измерение (использование формул). 3. использование интегрального исчисления.

2.7 Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.

2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.

2.9 Методика повторения и дальнейшего изучения натуральных чисел. Изучение обыкновенных и десятичных дробей.

10. Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.

2.11 Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.

Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ) можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел. Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r₁< α< r₂. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех a^r1 и наименьшим среди всех a^r2 , которое можно считать значением a^α.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=a^x( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(a^x)=R; E(a^x)=R_Т; a^x возрастает при a>1 и a^x убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения a^x=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log_ab, т.е. a^logab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. log_a1=0

2. log_aa=1

3. log_axy= log_ax+ log_ay

4. log_ax/y= log_ax- log_ay

5. log_ax^p= plog_ax

Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:

1. ,

2. ,

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).

Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.

Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.