- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Признаки сходимости последовательностей.
- •5.Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
- •13.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции.
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •16.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •17.Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.
- •24. Предел функции нескольких переменных.
- •25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
- •28.Сложная функция двух переменных ее производная.
- •29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
1. Последовательности. Определение,
способы задания, действия с последовательностями.
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : .
Числа называются членами последовательности, а число - общим или членом последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
- 2, 4, 6, 8, …, , … (монотонная неограниченная),
- 1, 0, 1, 0, … (не монотонная, ограниченная).
Закон образования последовательности дается формулой его общего члена (одной или несколькими). Последовательность может быть сформирована также с помощью рекуррентного соотношения или словесного описания общего члена.
Пример. Дана формула общего элемента последовательности . Написать пять первых элементов последовательности.
Полагая последовательно в общем элементе получаем , , , , .
Действия с последовательностями:
-сложение последовательностей;
-вычитание последовательностей;
-умножение последовательностей;
-деление последовательностей.
2.Предел последовательности. Сходимость.
Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .
Предел числовой последовательности обозначается или при . Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.
Пример. Доказать, что для последовательности .
Пусть, например, . Тогда неравенство будет иметь вид или , т.е. выполняется при . Аналогично для при .
Для любого неравенство или выполняется при .
Итак, при любом существует такой номер (или равный целой части ), что для всех (при для , при для и т.д.) выполняется неравенство , а это и означает, что .
3.Свойства сходящихся последовательностей.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.
Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.
1.Сходящаяся последовательность ограничена.
2.Пусть , , тогда , , , .
3.Если , и для всех выполняются неравенства , то .
4.Если и последовательность - ограниченная, то (произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая).
4. Признаки сходимости последовательностей.
Теорема. Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.
Теорема. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при , то функция имеет тот же предел .