1.3. Основные правила расчета ковариации.

Есть несколько важных правил, которые вытекают непосредственно из определения ковариации.

Правило 1.

Если у = а + в, то Cov (x,y ) = Cov (x ,а) + Cov (x , в) 2.

Доказательство правила 1

( x - а + в - = (х -

Таким образом, мы доказали, что Соv (х,у) является суммой ковариаций Cov (x,a) и Cov (x ,в).

Это правило можно пояснить на следующем примере. Допустим, х - доход семьи, у - расходы на питание и одежду, которые в свою очередь можно разбить на а - расходы на питание и в - расходы на одежду. Тогда, согласно правилу 1, ковариация доходов с общими расходами (у) может быть определена как сумма ковариации доходов с расходами на питание (а) и ковариации доходов с расходами на одежду (в).

Правило 2

Если у = к с, где к - константа, то Cov ( х, у) = к Cov (х,с) 3.

Доказательство правила 2

Cov (x, y) = = =

= к Cov (x,c)

Правило 3

Если у = а, где а - константа, то Cov (х,у) = 0. 4.

Доказательство правила 3

Это совсем просто. Поскольку а - константа, то = а . Отсюда а - и, следовательно, (х - =0. Поэтому Cov ( х, а) = 0.

Пользуясь этими основными правилами, вы можете упрощать значительно более сложные выражения с ковариациями. Например, если какая то переменная равна сумме трех переменных - u , v и w, то, пользуясь правилом 1 и разбив у на две части ( u и v + w ), получим :

Cov (x , y) = Cov (x, u + v + w) = Cov (x, u ) + Cov (x , v + w ) = Cov (x ,u ) + Cov (x , v ) + Cov ( x , w ).

Итак, выборочная ковариация между х и у определяется по формуле 1.1. Другим эквивалентным выражением является

Cov (x, y) = 5.

( доказательство эквивалентности указанных уравнений здесь опускается).

1.4. Теоретическая ковариация.

Если х и у - случайные величины, то теоретическая ковариация _ху определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их средних значений :

рор.cov (х , у ) = _ху = Е {(x - _x ) (у - _у)} 6.

Если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может быть использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. К сожалению, оценка будет иметь отрицательное смещение, так как

Е {Cov (x ,y)} = pop.cov (x , y ) 7.

Причина заключается в том, что выборочные отклонения измеряются по отношению к выборочным средним значениям величин х и у и имеют тенденцию к занижению отклонений от истинных средних значений. Очевидно , мы можем рассчитать несмещенную оценку путем умножения выборочной оценки на п /п -1. Правила для теоретической ковариации точно такие же, как и для выборочной ковариации, но их доказательства мы опускаем, поскольку для этого требуется интегральное исчисление.

Если х и у независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю благодаря свойству независимости и факту , что Е (х) и Е(у) равняются соответственно  _х и  _у .

Е {(x - _x) (y -  _y)} = E ( x -  _x) ( y -  _y ) = 0 x 0 8.