Алгоритм задачи Стефана
Для решения задачи Стефана используем метод сглаживания коэффициентов с применением разностных схем сквозного счета [14], тем самым совершаем переход к обычной задаче теплопроводности.
(1)
Здесь коэффициенты теплоемкости и теплопроводности имеют вид:
(2’)
(3’)
или
(2’’)
(3’’)
Далее задачу теплопроводности приведем к цепочке одномерных задач. Расщепление по r и z.
Решение задачи теплопроводности по радиальной переменной
Имеем цилиндрически-симметричную задачу теплопроводности:
(1)
С начальными условиями:
(2)
Краевыми условиями:
(3)
(4)
В месте расположения спирали задается условие сосредоточенного источника тепла:
(5)
(6)
Обозначим L:
(7)
Введем сетку:
,
.
L аппроксимируем:
(8)
(9)
Задачу аппроксимируем методом баланса. Функции кусочно-непрерывны, поэтому
Возьмем σ=1.
Получаем неявную разностную схему,
(10)
Разностная схема определена на шаблоне:
* * *
*
Коэффициенты являются нелинейными функциями, таким образом приходим к нелинейному уравнению теплопроводности и для нахождения ее решения используется метод итераций
(11)
Относительно
разностная схема оказывается линейной.
Задача
в точке
имеет в наличии сосредоточенный источник
тепла и удовлетворяет условию сопряжения.
Уравнение примет вид
(12)
Граничное условие (3) аппроксимируем методом баланса, σ=1:
(13)
(14)
Аппроксимируем краевое условие (4) приr=0, σ=1:
(15)
,
.
Получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей [15-18]. Такая система решается методом прогонки:
Найдем коэффициенты системы:
Решение задачи теплопроводности по осевой переменной
Имеем обычную задачу теплопроводности в декартовых координатах:
(1)
С начальными условиями:
(2)
Краевыми условиями:
(3)
(4)
Введем сетку:
,
.
Задачу аппроксимируем методом баланса. Функции кусочно-непрерывны, поэтому
Возьмем σ=1.
Получаем неявную разностную схему. Коэффициенты являются нелинейными функциями, таким образом приходим к нелинейному уравнению теплопроводности и для нахождения ее решения используется метод итераций:
.
(4)
Граничное условие (3) аппроксимируем методом баланса
Возьмем σ=1
(5)
Условие (4) первого рода аппроксимируется точно:
Получаем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Решаем методом прогонки:
Найдем коэффициенты системы:
В
качестве начального приближения берется
функция температуры с предыдущего шага
по времени:
.
Прекращаем итерации по условию:
