Методы решения задачи Стефана
Задача о фазовом переходе
Важный класс нелинейных проблем теплообмена связан с процессами фазовых превращений. Мы рассматриваем переходы твердое тело—жидкость. Для моделирования процессов плавления/кристаллизации чистых веществ используется классическая модель Стефана, которая характеризуется заданием постоянной температуры на границе фазового перехода[24].
Пусть
имеются две фазы с коэффициентами
теплопроводности и теплоемкости
,
и
,
.
В каждой фазе температура удовлетворяет
уравнению
На
границе раздела фаз температура постоянна
и равна температуре фазового перехода,
.
Скорость движения
границы фазового перехода ξ удовлетворяет уравнению
если
в первой фазе
,
во второй
.
Вводя σ-функцию, уравнение запишем в виде
Методы с выделением границы фазового перехода
Модельная однофазная одномерная задача Стефана
Поясним
основные подходы к численному решению
задач типа Стефана с выделением границы
фазового перехода на примере простейшей
одномерной однофазной задачи Стефана.
Рассмотрим отрезок
,
который точкой
(граница фазового перехода),
разбивается на две подобласти:
Будем
считать температуру фазового перехода
равной нулю
,
поэтому в твердой фазе, которая занимает
область
,
положим
,
а в жидкой (область
)
—
.
Для определения температуры в жидкой
фазе рассматривается уравнение
теплопроводности (однородная среда)
Дополним уравнение (1) начальным условием
Пусть левый конец поддерживается при заданной температуре:
На границе фазового перехода выполнены следующие условия:
В
силу сформулированных предположений
о граничных и начальных условиях в
однофазной задаче Стефана (1)-(5) скорость
движения границы фазового перехода
положительна, т. е. область жидкой фазы
постепенно расширяется. Монотонное
возрастание функции
следует
из принципа максимума для параболических
уравнений.
Ловля фронта в узел пространственной сетки
Отметим некоторые простейшие вычислительные алгоритмы решения поставленной одномерной задачи (1)-(5) с учетом монотонного расширения области жидкой фазы. Рассматриваются методы с выделением границы фазового перехода, поэтому с неизвестной границей связывается узел расчетной сетки.
В
области
,
введем равномерную сетку с шагом h:
и пусть — множество внутренних узлов. По времени будем использовать неравномерную сетку
с
переменным шагом
.
Следует выбирать шаг по времени
,
таким,
чтобы за этот временной промежуток
граница фазового перехода сдвинулась
ровно на один шаг пространственной
сетки. Этот подход известен как метод
ловли фронта в узел сетки.
Метод выпрямления фронта
Для одномерной задачи (1)-(5) естественным является подход с использованием вместо х новой независимой переменной ξ, такой чтобы в новых переменных задача решалась в фиксированной области. Простейшая такая замена для задачи (1)-(5) имеет вид
Новая переменная ξ изменяется в фиксированных пределах от 0 (на левом конце х = 0) до 1 (на границе фазового перехода ) .При рассмотрении задач теплопроводности с фазовыми превращениями подходы с такими преобразованиями независимых переменных известны как методы выпрямления фронтов, так как в этом случае граница фазового перехода совпадает с фиксированной координатной линией.