- •Раздел I
- •Программа 1‑й части курса
- •Раздел I «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Введение
- •Раздел I — элементы теории вероятностей и математической статистики;
- •Раздел II — теория ошибок измерений.
- •1 Основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •1.1 События и их виды
- •1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
- •1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
- •1.5 Произведение событий. Теорема умножения
- •1.6 Теорема сложения для совместных событий
- •1.7 Многократные испытания. Формула бернулли
- •2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
- •2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •3 Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •3.2 Понятие о центральной предельной теореме
- •3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •3.4 Интеграл вероятностей
- •3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины
- •4 Элементы математической статистики
- •4.1 Основные задачи. Понятия
- •4.2 Числовые характеристики
- •4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
- •4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
- •4.5 Критерий согласия пирсона
- •4.6 Оценивание параметров
- •4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •5 Элементы корреляционного анализа
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •5.3 Уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •6 Контрольная работа №1
- •Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Литература
- •Приложения
- •Теория математической обработки геодезических измерений
- •Раздел I. Элементы теории вероятностей и математической статистики
1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
Существуют события, вероятности которых можно определить из условий самого опыта, не производя его. Для этого необходимо, чтобы элементарные события, составляющие полную группу, были попарно несовместными и равновозможными. Для таких событий возможен непосредственный подсчёт вероятностей, основанный на оценке доли "благоприятных" случаев.
Вероятность события вычисляют по формуле, называемой "формулой непосредственного подсчёта вероятностей"
. |
|
где N — общее число случаев, М — число случаев, благоприятствующих появлению события А.
Формулу называют также классическим определением вероятности.
Так, найдём вероятность события появления герба при одном бросании монеты:
.
Задача 1.1. В ящике находится 10 бракованных и 15 стандартных изделий. Найти вероятность того, что извлечённая наугад деталь будет стандартной.
Решение. Общее число случаев — ; число случаев, благоприятствующих появлению стандартной детали — . Искомая вероятность равна
.
1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
Существуют события, как например, "попадание в цель при выстреле" или "выход из строя радиолампы в течение одного часа работы", вероятности которых не могут быть вычислены по формуле . Для таких событий используют другие способы определения вероятностей, например, способы, связанные с проведением опыта (эксперимента).
Относительной частотой события называют отношение числа появлений этого события к числу всех произведенных опытов:
. |
|
При неограниченном увеличении числа опытов с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно ожидать, что относительная частота события Q приближается к вероятности Р его появления в отдельном испытании.
Математическую формулировку этой закономерности ("устойчивости частоты") впервые дал Я. Бернулли в теореме, которая представляет собой простейшую форму Закона больших чисел и может быть записана в виде
. |
|
Относительную частоту часто называют статистической вероятностью события.
Задача 1.2. По цели произведено 20 выстрелов, причём отмечено 18 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.
Решение:
.
1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
На практике обычно требуется определить вероятности событий, непосредственное воспроизведение которых невозможно. В этом случае применяют методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других, более сложных событий, с ними связанных. При решении таких задач используют основные теоремы теории вероятностей.
Суммой двух или нескольких событий называют сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Для несовместных событий Аi условно пишут: , а также .
Теорема. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
. |
|
Следствие 1. Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:
. |
|
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
. |
|
Задача 1.3. В лотерее 1000 билетов, из них падает выигрышей: на один билет — 500 руб., на 10 билетов — по 100 руб., на 50 билетов — по 20 руб., на 100 билетов — по 5 руб. Остальные билеты — невыигрышные. При взятии случайным образом одного билета найти вероятности следующих событий:1) выиграть не менее 20 руб. и 2) выиграть любую сумму.
Решение. Обозначим события: В1 — выигрыш не менее 20 руб.; В2 — выигрыш любой суммы; А1 — выигрыш 20 руб.; А2 — выигрыш 100 руб.; А3 — выигрыш 500 руб.; А4 — выигрыш 5 руб. Согласно условию — ; . События Аi несовместны, поэтому применима теорема :
;
.