- •Раздел I
- •Программа 1‑й части курса
- •Раздел I «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Введение
- •Раздел I — элементы теории вероятностей и математической статистики;
- •Раздел II — теория ошибок измерений.
- •1 Основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •1.1 События и их виды
- •1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
- •1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
- •1.5 Произведение событий. Теорема умножения
- •1.6 Теорема сложения для совместных событий
- •1.7 Многократные испытания. Формула бернулли
- •2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
- •2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •3 Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •3.2 Понятие о центральной предельной теореме
- •3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •3.4 Интеграл вероятностей
- •3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины
- •4 Элементы математической статистики
- •4.1 Основные задачи. Понятия
- •4.2 Числовые характеристики
- •4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
- •4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
- •4.5 Критерий согласия пирсона
- •4.6 Оценивание параметров
- •4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •5 Элементы корреляционного анализа
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •5.3 Уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •6 Контрольная работа №1
- •Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Литература
- •Приложения
- •Теория математической обработки геодезических измерений
- •Раздел I. Элементы теории вероятностей и математической статистики
4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
Нормированный центральный момент третьего порядка называют асимметрией (скошенностью)
, |
|
а величина
|
|
называется эксцессом и является мерой крутости, т.е. островершинности или плосковершинности кривой. Для кривой плотности нормального закона: , .
Критериями нормального закона служат неравенства [1,стр.84]:
и , |
|
где
и , |
|
Значительное отклонение и от нуля, т.е. невыполнение условий , означает отклонение исследуемого распределения случайной величины от нормального.
4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
Исследование распределения статистического ряда начинается с построения гистограммы (рис. 4.1). По виду гистограммы, а также из соображений, связанных с существом задачи, делают предположение о виде теоретической кривой распределения. Если, например, исследуется ряд случайных ошибок измерений, то можно считать, что теоретической кривой является кривая нормального распределения вида .
Оценки и неизвестных параметров и определяются по формулам и . Тогда уравнение кривой принимает вид
. |
|
Выражение обычно приводят к виду
. |
|
где
|
|
выбирают из таблиц Приложения A по аргументу
.
Затем на графике гистограммы строится выравнивающая её теоретическая кривая по значениям хi и , вычисленным для левых границ интервалов хi (см. таблицу 4.1).
Рис. 4.1 — Гистограмма и выравнивающая кривая
4.5 Критерий согласия пирсона
В качестве меры расхождения между кривой и гистограммой К. Пирсон предложил вычислять величину
, |
|
где mi — практическое число значений хi в i‑м интервале; k — число интервалов; — теоретическое число значений хi, ожидаемое в i‑м интервале при подобранном распределении ; рi — теоретическая вероятность попадания в i‑й интервал, определяемая, например, для нормального закона по формуле .
Величина 2 подчинена "хи-квадрат" распределению, зависящему от одного параметра r, называемого числом степеней свободы:
, |
|
где k — число интервалов, s — число параметров, оцениваемых по выборке.
Степень согласованности статистического распределения с теоретическим оценивается вероятностью Р, полученной из таблиц Приложения E по величинам r и 2.
Критическим значением вероятности считают [1,стр.79].
Поэтому, если полученное из таблиц значение вероятности окажется меньше критического уровня значимости, т.е. , то делают вывод о том, что результаты опыта следует считать противоречащими гипотезе о предполагаемом законе распределения вида .
4.6 Оценивание параметров
При малом числе измерений нельзя решить задачу определения закона распределения, можно лишь найти оценки и (приближённые значения неизвестных основных параметров и ).
Оценкой неизвестного параметра а называют любую функцию элементов выборки.
Наилучшей из всех возможных значений оценок называют такую оценку, для которой выполняются свойства:
состоятельности, т.е.
;
несмещённости, т.е.
;
(невыполнение этого требования приводит к систематической ошибке в оценке параметра);
эффективности, т.е.
Последнее свойство означает выбор из всех оценок оценки с минимальной дисперсией, т. е. наиболее точной оценки.
Можно доказать, что, "наилучшей" оценкой для неизвестного математического ожидания является среднее арифметическое .