Напряжения uc6, исз, uci могут быть выражены через напряжения ug2, ug4, ug5.

Таким образом, хотя в системе присутствуют 6 напряжений на конденсаторах, но только 3 из них независимы. Таким образом порядок схемы равен 4.

Рассмотрим аналогичную схему с индуктивностями рис. 4.9.

По аналогии с предыдущим,

l ₄ i i l ₆ i i i можно записать алгебраические

уравнения для сечений схемы I, II

и III:

Li i i ! L3

l L1 l L 3

^E1 il2 )L:

4 1 L 2 •хэ ⁰ (I) -L 4 L 6 ^-L8 ⁰ (II)

L 6 "L 7 ^J1 = ⁰ (III)

0 ( ^1V )

dx(t)

dt

Ji

R i ^-L8 \^L 8 lL5

^L 5 .IV

Рис. 4.9

- L 7

+ /L7 + ¹ 1

/L5 =

Токи ILI, iL4, IL6, L8 выражаются через токи IL2, H, LS, IL7.

Несмотря на то, что в схеме имеется 8 токов в индуктивностях, только 4 из них являются независимыми, т.е. порядок схемы равен 4.

Таким образом, следует вывод: порядок цепи равняется числу конденсаторов и катушек индуктивности в схеме минус число независимых С-Е контуров минус число независимых L-I сечений.

4.4 Анализ переходных процессов в линейных цепях

Линейными называются электрические цепи, параметры которых постоянны, независимы от режима работы схемы, т.е. мгновенных значений токов и напряжений на элементах. Расчет переходных процессов в линейных цепях возможен точными аналитическими методами. Наи­большее распространение получили классический и операторный методы анализа.

1. Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении диффе­ренциальных уравнений схемы и их аналитическом решении. Цепь n-ro порядка описывается системой из n линейных дифференциальных уравнений или одним уравнением n-ro порядка.

A

dⁿx(t) dt"

+ A

d"-¹ x(t)

dt ^n—1

+... + A1

+

AO • x(t) = f (t)

где An, An-1,..., A1} Ao — коэффициенты (постоянные), составляемые по параметрам схемы, f(t) — некоторая функция времени, формируемая из параметров элементов схемы и заданных внешних источников или их производных.

Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-ro по­рядка с постоянными коэффициентами. Решение его складывается из суммы двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. С физической точки зрения частное решение неоднородного уравнения представ­ляет собой так называемый принужденный режим, т.е. определяет процессы в схеме через бесконечно большой промежуток времени после коммутации, будем обозначать его xnp(t). Об­щее решение соответствующего однородного уравнения представляет собой так называемую свободную составляющую xce(t), т.е. процессы, происходящие при коммутации схемы. Таким образом:

') x_np(t) +xce(t)

141

где xce(t) ищется из решения уравнения:

Л • л + A n 1 . ^л +... + A 1 . Ш + A0. x(t) = 0

n d t n n~1 dtn~1 1 dt 0 w

Исходя из сказанного выше: lim xce (t) = 0; lim x(t) = x (t)

xЛXi

Характер источников энергии в рассматриваемой цепи существенно определяет способы нахождения принужденной составляющей xnp(t). Если в цепи присутствуют только источники постоянного тока (после коммутации), то цепь рассчитывается обычными методами узловых потенциалов или контурных токов при размыкании всех емкостей и закорачивании всех индук- тивностей. Если источники энергии после коммутации изменяются по гармоническому закону, то расчет xnp(t) можно провести, например, символическим методом (методом комплексных амплитуд). Если после коммутации на цепь воздействует несколько источников гармонического сигнала с разными частотами и источники постоянного тока, то рассматривается каждый ис­точник отдельно и находятся частичные значения xnp^k(t) от каждого источника, которые затем, в соответствии с принципом наложения для линейных цепей, суммируются. Если, наконец, по­сле коммутации на цепь воздействует источник, сигнал которого изменяется по сложному пе­риодическому закону, отличному от гармонического, но удовлетворяющему условию Дирихле (т.е. имеющему конечное число максимумов и минимумов на конечном интервале и конечное число разрывов 1-го рода), то сигнал такого источника разлагается в ряд Фурье, и xnp(t) опре­деляется как сумма гармоник, каждая из которых рассчитывается отдельно. При этом количе­ство учтенных гармоник определяет точность расчета схемы.

Для определения свободной составляющей решения уравнения необходимо найти n кор­ней характеристического полинома вида:

An • pⁿ + An_1 • pⁿ~¹ +... + A • P + AO = 0

Корни находятся путем решения последнего алгебраического уравнения. В зависимости от характера полученных корней возможны следующие варианты записи решения xce(t):

1. Если корни p_b p₂, ..., p_n различные и действительные, то общее решение, т.е. x_CB(t) записывается в виде:

n

x _ce( ) = Я- eP¹¹ + B2, • eP^2t +... + B_n • e^pn- =Vf^Ffe₁ . ^ePi'

i=i

Здесь B1...Bn — постоянные интегрирования, определяемые через начальные условия и параметры элементов цепи с учетом полученных значений для принужденной составляющей.

2. Если некоторый корень pk имеет кратность q (т.е. имеется q одинаковых корней ха­рактеристического полинома). При этом соответствующее этому корню слагаемое в общем выражении для xce(t) имеет вид:

xcg(t) = (С0 + Q • t + C2 • t² +... + Cq-1 • f-¹ )• e^Pkt = e^pkt • §C] • f

1=0

Здесь, как и прежде, С0, ..., Cq-1 — постоянные интегрирования, определяемые из неза­висимых начальных условий и параметров цепи после коммутации с учетом принужденной со­ставляющей.

3. Если имеются комплексно сопряженные корни типа pk,k+1 = S ± j a0, то слагаемое в xce(t), соответствующее этим двум корням, записывается в виде:

142

X ^kk+1( t) = D • e⁵ t • sin(root + v)

Здесь DM v — также постоянные интегрирования, находящиеся аналогично предыду­щим. Можно в этом случае записать выражения для слагаемых свободной составляющей в ви­де:

_v к ,к+1 л„ ( t )

\ ^D k • s ⁱ n W

+ ^Dk + 1

R IL

L

UT

T=L/R

e(t)

Рис. 4.10

Найти форму ii_(t) и ui_(t) при двух значениях длительности импульса:

1. tM < т и 2. tM > т.

Для решения задачи рассмотрим два интервала: 0 < t < tu и t > tu. Для первого интерва- ла начальные условия нулевые, для второго — определяются переходным процессом в пер- вом интервале.

1. Первый интервал. il(0-) = 0. По закону коммутации ii_(0+) = 0. Дифференциальное уравнение цепи:

L

d i _L (t)

dt

+ h (t) • R = E

Напряжение на индуктивности UL(t) = E - R-k(t) .

Принужденное значение тока: t^A-oo iLnp = E/R , напряжения ULnp=0.

Характеристическое уравнение цепи: p-L + R = 0 .

Его кореньр = -R/L = -1/r. Вид свободной составляющей:

£

143

_ t - t

x _u (t) = _- B • R • e~x

iL(t) = E / R + B • e^x . UL (t) = -B • R • e~

Исходя из начальных условий постоянная интегрирования B:

i l(0+) = 0, B = -E/R При этом окончательное решение для тока на 1-ом интервале имеет вид:

E ₁ 1

iL (t) = — • ¹ - ^e v

- t

Напряжение на индуктивности: ul (t) = E • e ^x.

2 интервал. Начальные условия в момент коммутации (переносим начало отсчета вре- мени в момент времени t=t„):

iL (0-) = FF-^{(Л - e х}

L • ^dlL(^tl + l(t). r = 0 dt

Принужденное значение тока: iлp = 0 при Poo. Характеристическое уравнение имеет тот же вид, поэтому свободная составляющая по-прежнему:

iLce(t) = B-e , TL (t) = iLce (t) = B • e Используя начальные условия, имеем:

_E f Jh\

E f t _ч f Jn\

=—'1 - e ^x u {, ) = - E. 1 -e ^x

v У V У

Изобразим переходный процесс графически в совмещенных для тока и напряжения коор- динатах для двух значений постоянной времени.

iLce(t) = B-e'^tT

Выражение для функций k(t) и uL(t):

^R V У

Дифференциальное уравнение цепи:

h (0 +) = b _R ^{1 -}

x

Тогда:

e

144

Рис. 4.11

Рассмотрим ту же задачу, предполагая, что на входе цепи действует источник синусои- дальной ЭДС e(t) = Um-cos(o>t +ф) .

Л

R

О e(^t)

L U,

T = L / R

Рис. 4.12

U

V (t) = j.f ' ^c°s(®t + Ф-ф) ф = arctg

где \^Лу)- л/R ² +(®L)^:

ъ(t)= A • ер» = e~

~L U

h(t)= inp(t) + L(t) = A- e • c°s(^At + ф-о)

z

Если ^lL(⁰-) - ⁰, MO ^lL(⁰ + ) - ⁰, тогда A = - ^Uf • c°s(ф - ф);

U -- U

il(t) = — r-f- ^л(ф-ф)-e ^T + -^f • c°s(tot + ф-ф) z z

L (t) = —^f - - c°sfo - ф)- e ^T + c°s(лt + ф - ф)

Рассмотрим 3 случая:

1. т—^Л 0 ; L/R - + 0; L -+0 ; ф=0

h

145

146

В последних выраженияхр — комплексное число, называемое оператором преобразова­ния; So — некоторое действительное число. Функция x(t) имеет изображение, если удовлетво­ряет условию:

Г0, t < 0

x(t) = \

[< к • ¹ , при t > 0; к = const

Непосредственное использование соотношений преобразования Лапласа достаточно громоздко, и к нему приходится прибегать достаточно редко, т.к. существуют таблицы соответ­ствия изображений и оригиналов, а также некоторые специальные теоремы, позволяющие вы­полнить обратный переход (он обычно более затруднителен) для особых случаев (см. напр. Г. Корн Т. Корн Справочник по математике.; Дидкина В.А., Прудникова А.П. Справочник по опера­ционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965 г.).

Рассмотрим некоторые из свойств прямого преобразования Лапласа (таблица 1).

При использовании операторного метода неизвестные токи и напряжения ветвей элек­трической цепи, а также токи и напряжения независимых источников энергии заменяются их изображениями. Затем составляются операторные уравнения для изображений токов и напря­жений, которые решаются для неизвестных величин как обычные алгебраические уравнения. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, находятся оригиналы токов и напряжений в функции времени.

Одно из достоинств использования преобразования Лапласа состоит в том, что в силу третьего свойства, перечисленного в таблице, законы Кирхгофа для изображений токов и на­пряжений в цепи в операторном виде записываются как и для обычных функций времени:

ш п

х Ik (р) = 0 YUk (р) = 0

i=i i=i

Здесь m — количество ветвей, сходящихся к одному узлу, n — количество ветвей, вхо­дящих в замкнутый контур.

Рассмотрим соотношения для записи операторных уравнений электрического равновесия в цепях R, L, C.

Для сопротивления во временной области: u(t) = R-i(t). Для него, в соответствии с тео­ремой об умножении на константу, справедлив переход: U (р) = RI(p) .

Емкость описывается следующим уравнением во временной области:

ic (t) = C ^л c W dt

Или, переходя к интегральной записи:

1 ¹

u c ( » > = "c⁽⁰⁾ + C 'J ' c (»)^dl

^C 0

Первому соотношению соответствует в операторном виде уравнение:

Ic(р) = p • С •Uc(р) - С • U_c(0)

Uc (р) = л + \ - | c (р) Второму — ^{р р(;}

147

Uo (0)

Р Zo

Несложно показать, что первое уравнение может быть получено из второго и наоборот. Приведенным операторным соотношениям соответствуют эквивалентные схемы замещения (рис. 4.13): в них Xc = l/pc; Yc=pc операторные сопротивление и проводимость соответствен­но.

ic(t)

-о

Uc(t)

ш

C-Uc(0)

-о

-С

Yc=pC Uc(p)

ш

po

О

Uc(p)

Рис. 4.13

Таблица 1. Основные свойства преобразования Лапласа

о

о

148

В операторном виде указанные уравнения имеют вид:

UL(p) = pL • I L ( р ) - L • I L(0);

I L(P) Г Л |^X л | = p L 1

UL( P)

Индуктивность описывается уравнением:

U L ( ¹ ) = L

или, что то же самое:

TL (t) = TL (0) + L -J UL (t )dt

_{I ( )} iU0 + J_ , .

I L ( р ) = UL ( р)

р р ¹

Таким образом, индуктивное операторное сопротивление: XL(p) = pL, а проводимость: YL(p) = l/pL. Эквивалентные операторные схемы замещения для индуктивности имеют вид рис. 4.14:

iL (0)

iL(t)

l/YYV

Ur(t)

IL(P)

P

1

У L(p b PL

Ur(p)

Рис. 4.14

Сравнивая символический метод анализа установившегося режима в цепях переменного синусоидального тока и операторный метод анализа переходных процессов, можно видеть, что структура основных уравнений и вид эквивалентных схем близки, если комплексную частоту ja заменить на оператор р преобразования Лапласа. В операторном методе появляются лишь до­полнительные независимые источники тока или ЭДС, характеризующие ненулевые начальные условия элементов схемы.

149

, („)_ E, + PL'Ii (0) ^1|{p^,~ p - (p L + R) .

UL (p ) - L - I L (0)+ L. л л

R R

Построим полученные зависимости графически (рис. 1.17)

Рассмотрим пример расчета переходных процессов в простейшей цепи операторным ме-

тодом:

Рис. 4.16

л f ' ' ' <0

[E2, t > 0

Преобразуем выражения:

_{h (p)} = ^E _+ ^HW

^{h (p)} = p*(jpL + R) (pL + R)

и ( p ) - - L • ^E 2 -^!L (⁰)'^{R LK} ' (pL + R)

h (p )

E

L • E

E J L

EJ R

p-(pL + R) R-(p L + R) p-(p +1/x) (p+1/x)

Ul (p ) = - L • ^E ^V = _L

^{LV 7} (pL + R) p +1/1 . _! = —

R

По формулам таблицы соответствия находим: _E с t\

Л. (' E 1 - e" +—¹ • e^{- L} v У ^R

Продолжая преобразования, несложно получить:

u (t) = (E2 - E 1 )• e"

_t _ ^E l _ ^E 2 .

E

,L () =

e

150

(Е1-Е2)

Рис. 4.18

Воздействие 5-функции на систему называется единичным импульсным воздействием. Если воздействует функция S_u-8(t), то это — импульсное воздействие.

Рассмотрим вначале реакции простейших цепей на импульсное воздействие (рис. 4.19):

1 V S ИТ

SnrS(t) S_H'S(t) ^{uc (t)} = —,^{ISm -8(t)dt} = _с

^CL , при t>0+

Т.е. энергия, сообщаемая емкости равна:

а б

Рис. 4.19

151

—— • J ul (t)dt = — • J" Sи • S(t)dt

2 2 • L² 2 L

Т.е. системе мгновенно сообщается заданная энергия. Таким образом мощность в цепи бесконечна.

В ряде случаев необходимо знать реакцию системы на такого рода воздействие. На­пример если T»tu, то можно считать, что к системе приложено импульсное воздействие: ра­диосхемы например.

Реакция цепи на импульсное воздействие — импульсная реакция или импульсная харак­теристика g(t).

Удобнее всего находить реакцию операторным методом. Для этого найдем изображе­ние S(t).

WC

C • uC (0+) C • Six S

ИТ

2

2 • С² 2C

Аналогично для индуктивности

S

при t>0

+

W

L' i 2 L' S 2 S' И

Д(р) = J e"^pt -S(t)

Здесь подынтегральное выражение только в момент времени t=0 отлично от нуля. С другой стороны e'^pt=1 при t=0, следовательно A(p)=1. Если действует Su-S(t), то изображе­ние такой функции будет Su:

S(t) +1

sh 'S(t) л sh

Обратить внимание, чтовоздействиетипа ступеньки — Е имеет изображение E/p.

Тогда, если передаточная функция системы H(p), то изображение реакции ее на им­пульсное воздействие F2(p):

F2(p) = A(p)-H(p) = Su-H(p).

В случае единичного импульсного воздействия F2(p) = 1 H(p) = H(p). Т. е. импульсная характеристика системы g(t) + H(p). Это очень важное свойство, которое позволяет считать импульсные характеристики систем.

Рассмотрим импульсные реакции простейших звеньев (рис. 4.20).

Будем находить импульсную реакцию операторным методом (а) и с помощью оператор­ной передаточной функции (б).

а) операторным методом

^S И ^S И

/с ( P) = i

Z( Р) R + '

Р с

-С

R

QSm-S(t) = Ц

2

L

L

152

Su S(t) * S, U С (0) = 0 Рис. 4.20

, где T=RC

Таким образом, u_c(0+)=Sh/RC; сравним с соответствующим выражением

S

1

pC

R + - L

pC

C учетом воздействия So • 5(t) получим, что:

₁

¹ -1 / X

RC

R

— О

О

C В теории электрических цепей данные интегралы известны под

названием интегралов наложения. По любой из этих формул зная импульсную характеристику цепи g(t) и воздействие f() можно вы- числять реакцию линейной электрической цепи, если начальные ус- ловия нулевые.

Таким образом, можно рассчитать переходные процессы, если

проинтегрировать интеграл свертки.

Рассмотрим в качестве примера произвольное воздействие f(), приложенное к RC- контуру (рис. 4.21).

Известно, что g(t)=1/T-exp(-t/x).

UC ( P)

IcIP] pc

pC R +

PC

Оригинал от изображения равен:

S

u С ( t )

^и e ^-t ' ^x

RC

'ИТ

^U C

С

т.е. воздействие типа напряжения преобразуется в ток величиной S#/R, ЧТО вполне по- нятно из физических соображений.

б) Рассмотрим теперь, как можно получить аналогичный результатчерез H(p).

н (p ) =

^p

1

C-T ₁ = - ^ж г

с + ¹ p +

R C У

g(t) - H(p)

g^(t) RC ^e '

т = RC

pC

(t ) = S

Интеграл наложения

Из знания импульсной характеристики цепи следует метод расчета переходных процес­сов в линейных схемах. Если на входе системы действует некоторая функция fity + Fj(p), то

F2(p): F2(p) = H(p) Fi(p) = > т.к. H(p) +g(t) u F2(p) +f2(t),

воспользовавшись теоремой свертки (оригиналом для произведения 2-х изображений является свертка их оригиналов, т.е. функций g(t) u f(t)), несложно получить:

.f (t) = j fi(x) • g(t - x)dx = J fi(t - x) • g(x)dx

u(t)

Рис. 4.21

153

t

a • e^{—t/ x} • x • e* ^{/ x t} a • e-^{t / X}-J ex ^/ xdx = a-(t - e -^{t /} x - i - e x^/ x| л )= a - [t- x + x- e -^{t /} x] =

t 1 t (t) = J u(t) • g(t - x)dx = - • Ju(x) • е"^(t"^{x x}dx

0 ¹ 0

Пусть, например, u(x) = E ^л

t

uc (t) = ~ ' Лax • ^xл^/xdx = — • е~^t/x • Jx • е"^ =a • e~^t/x • Jx t dx =

= a -[t + x-(e^{-t /}x-1)]

J u • dv = v • u -J v • du u = x dv=¹¹ • e^x ' ^Xdx ^л v = e^x ' ^x

Иитеграл Дюамеля

Импульсная функция и импульсная характеристика системы очень удобны для расче­та реакции системы. Однако более наглядным является представление воздействия с помо­щью ступенчатой функции 1(t).

Изображением 1(t) является, очевидно 1/p (можно найти из прямого преобразования Лапласа).

Для нахождения реакции f2(t) будем рассматривать:

F2 (p) = F1 (p) • H (p) = F1 (p) .H(p) • p

^p

Что т а к о^Не⁽ —? Что является ее оригиналом во временнойобласти?

f (t) -1(t) F 1 (p) = ¹ F 2 (p) = - • H(p) =

Если ^f 1(^t)л¹(^t), то P . Тогда P P .

Таким образом, реакция системы на единичный скачок (переходная характеристика) h(t) имеет изображение по Лапласу H(p)/p, т.е.:

h t ) + Н M ^p

Операции деления изображения на p соответствует интегрирование оригинала, а ориги­налом H(p) является импульсная характеристика g(t). Таким образом получаем:

с

0

^p

154

h(t) = J g (x)dx

Как зная переходную характеристику рассчитать переходный процесс при произволь­ном входном воздействии? Очевидно, реакция f2(t) будет соответствовать свертке оригиналов fi(t) и h(t), продифференцированной по времени за счет умножения нар (по теореме о диф­ференцировании оригинала):

f2 (t) = d | fi (x)h(t - x)dx = ^d | fi(t - x)h(x)dx

dt

(по правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом)

f2(to) = fi(0) • h(t)| + £ Af 1 (x) • h(to - x) = fi(0) • h(t)| + iff (x) • h(to - x)dx

0 0 0 0

t

f2 (t) = fx (0) • h(t) + J f (x) • h(t - x)dx Указанные соотношения называются интегралом Дюамеля.

Рассмотрим ту же самую задачу о заряде конденсатора через резистор источником ли- нейно нарастающего сигнала (рис. 4.23).

e(t) = a-t [a] = В/с

,,, . 1/pc 1 1/т

H(р) = _C

R+1/pc pRC +1 p +1/т ^C

Рис. 4.23

Рассмотрим пример вычисления реакции схемы с помощью интеграла Дюамеля. Пусть

имеется цепь, изображенная на рис. 4.24.

uex (t )= E -(1 - е " ^/ )

Рассмотрим передаточную функцию дифференци- рующего звена:

R +1/pc pRC +1

Переходная функция, по определению, вычисляется в виде:

H(p) - RC 1

p 1 + pRC p +1 /т . _h(_t) = _е -t / х

в частном случае, если г_вх=0, uebix(t) = E-e'

2) При t>tu на цепь воздействует перепад напряжения амплитудой

Au„(t) = -E -(1 - е^/х»)

При Этом uex (t) = 0 при t>tu. Таким образом, в соответствии с формулой интеграла Дюамеля при t>tu:

u , {t ) = _ \е~^tх» - e ~^{t t /} ] - E -(1 - e%' x- )• e "(t

^{H (p) 1} h (t) + H P)

p px-( p +1/ t)' p

t t 1 _t

h(t) = Jg(x)dx = J— • e~^x/xdx = - e ^t {_e~t t x_-1)= 1

,-t / X

u ,(t ) = / (0)-h(t) + J /; (x) -h (t - x)dx = J a-(1 - e~^{t ~^{x}/ z}}dx = a -[t + i-(e^Mt ' ^x- 1 )]« a - (t-1)

0 0

fhpw

t > > T i

H (p)

R

pRC

R u eblx (t)

Рис. 4.24

h(t)

В соответствии с формулой Дюамеля получим выражение для выходного напряжения uebix(t) для двух диапазонов времени: 0<t<tu и t>tu. 1) ПРИ ОЛЛЛЛИ:

E

М ) = u e x (⁰)-^{h Г t})+J ue_X ( -^x ) ^d x = T —

\ / x/_v

^{) xex} • e"x ^Xdx

-t /

J T

0 ex

E

т„,, /1

^x X T„ .7 ^ -t / _%

e dx = e

_e ' ^/x«« _ _e- ^1/Хет-'^/x +^1/x®

1

1 /х-1/1

1 - e

M - ¹ - ¹

X x„

t/T

M x

u

0

0 ex

E

E

E

y x

156

2— T

e^}Z + e "jz

2

e^]Z - e-^jz 2 J

Данные выкладки справедливы при tu>>zex, только в этом случае можно считать для входного сигнала, что в момент tu начинает действовать отрицательный перепад амплитудой E. Лишь в этом случае сумма сигнала с нарастающим экспоненциальным фронтом и отрица­тельного перепада (-E) даст нулевой входной сигнал при t>tu.

4.4.3 Частотный метод анализа переходных процессов

Если f(t) — периодическая функция с периодом Т, удовлетворяющая условию Дирихле (т.е. может быть представлена в виде конечного числа интервалов, на которых функция моно­тонна и непрерывна, а между интервалами имеет разрывы 1-го рода), то она может быть пред­ставлена в виде суммы тригонометрического ряда (ряда Фурье):

A х

^f (t > = -f + x ^Ak-^c°s(k&1'+ )

2 k=1

2я

где ю,

1

или

_A х

f (t) = -f + Z B • cos(k®1 t) + Ck • sinfat)]

² k=1

где A = т -J f (x)dx;

Bk =

J f(x) • cos(kro!x)dx

Ck =

J f (x) • sin (km1 x )dx

Ak = V Bk + C²k

9k = -^arctg

C л

Используя известные равенства (формулы Эйлера)

\ ^B k j

cos z =

sin z

чить:

можно полу-

f (t) = 1 D • e

k = ~Xi

ряд Фурье в комплексной форме,

1 2

где комплексные коэффициенты Dk = — • f f (x) • e~^Jk<*^1xdx, k=0, ±1, ±2, ±3

^k T

0

f(t) a

T/2 T/2

..(4.1)

Рассмотрим ПРИМЕР:

a, t < 0

f (t) =

a, t > 0

A0 = 0

157

т

T

t

Рис. 4.29

/[_t) ^л= _ ^r sin ®t н-- sin 3®t н -_ sin 5®t +.. ^{sin (krn1t )}= ^{cos(kro1t - 90}°

л v 3 5 у

/ (t) = S Ak

( 2л ^л л 4Г~ ( 2л л

cos k t - 90° = л cos ^v k t - 90°

k=1 it у k=1 It j

k=2 m+1 k=2 m+1

_A x

/(t) = у + • cos(k®1t)+Ck • sinfat)]

B_k = — • J / (x) • cos(k©i x )dx

T

0

г ч 7 2 ² /, ч 2a sin(kro,x) 2a sin(kro!x)

j - a • cos(kroi x)ax + _ j a • cos(kroi x)ax = +

T T n T k®1 -t T k®1

2a T - к»2л T 2a T k • 2л T

sin + - sin = 0

T k • 2л T 2 T k • 2л T 2

2 2 2 ⁰ 2

Ck = _ • J / (x) • sin (kro₁ x )dx = — J - a • sin (kro₁ x )dx н — J a • sin (kro₁ x )dx =

T T T

0

2

a ь a

cos kx cos kx

T k_Л T k • _л vT у ^-ТЛК vT у

T -T T ²

0

2

Пусть k — четное, т.е. k = 2m

a ^r„ ^/ 2л • 2m T ^W a 2л • 2m T

a = 1 - cos cos =0

л • 2m _v v T 2 _yy л • 2m v V ^{r 2} у у

k — нечетное, т.е. k = 2m + 1:

a 4a

C_k = • (1 - cos(- л • (2m +1))) (cos(fl • (2m +1)) - 1) =

л - k л - k л - k

Таким образом,

4a ^r 2л-^л , _и „ _r / (t) = _si_n k 1 где k=1, 3, 5, ... или

к nk ^T

T

2

T

0

0

158

* /k k= 1

1 to.

Таким образом. периодический сигнал можно описать амплитудами (Ao, Ait A2 ...) и фа­зами fo, fh f2 ...) гармоник, т.е. совокупностью частотных параметров. Закон распределения амплитуд и фаз называют спектром амплитуд и фаз.

Для периодической функции получаем дискретный (линейчатый) спектр амплитуд и фаз.

Часто используемым в электронных устройствах сигналом является пилообразное на­пряжение. Его разложение в ряд Фурье:

¹ • sin(^k®1)

Ak

4 a/ж

0

Щ

л/2

4a/3n

\ /\ ⁴а/5* 4a/?x 1 2 3 4 5 6 7

1 1 L

co/a> ₁ сд/а> ₁

Рис. 4.26

Если f(x) — чётная, то разложение в ряд Фурье содержит косинусные составляющие, ес- ли — нечетная, то синусные.

Пусть сигнал сдвинут во времени (запаздывает) на to.

f(t

Л

Z

k=1

Если сигнал сдвинут, то необходимо лишь сдвинуть начальные фазы гармоник на угол

kait

1

f ( t ) = a

k

Очень часто возникает вопрос об энергии, выде­ляемой негармоническим периодическим сигналом в активном сопротивлении. Предположим, что R=1, и к нему приложено напряжение u(t) = f(t). Мгновенная мощность:

f(t)

T

Рис. 4.27

P(t) ^Ж ₁ Мощность средняя за период:

A o

£ ^A k k = 1

c o s ( ^k " 1 ¹ + 9k)

1 T

^P = T^--J f (t )² dt

Т.к. интегрирование ведется в пределах периода и частоты всех гармоник кратных часто­те сигнала (на периоде исходного сигнала укладывается целое число периодов гармоник), то несложно получить, что

t „) =

^A k ^k^cos[^k®1 (^t - ^to

^k ® 1 ^t 0 ]

o

n

0

2

+

2

159

Разложение в ряд Фурье необходимо для использования заново полученной непрерыв- ной функции в дальнейшей обработке, (например для вывода ее на печатающее устройство).

Сразу же необходимо отметить, что при этом неизбежно происходит потеря информации о по- ведении функции между отсчетами! Поэтому раз- ложение можно использовать лишь в случаях, ко- гда Вы уверены в том, что частота дискретизации достаточна для улавливания всех скоростных про- цессов в изменении функции.

P =

- A

2

Л² 2

Таким образом, каждая гармоника выделяет в активном сопротивлении энергию, пропор­циональную квадрату её амплитуды. Данное соотношение носит название равенства Парсе- валя.

Так как энергия сигнала конечна, то несложно показать, что независимо от формы сигна­ла, если ряд Фурье существует, то амплитуда гармоники падает с ростом номера гармоники.

Дискретное преобразование Фурье

В ряде современных задач электроники возникает необходимость восстановить функцию по её дискретным отсчетам. Это диктуется прежде всего задачами цифровой обработки ин­формации. Предположим имеется непрерывная функция времени /1(t), которую с помощью технических устройств можно измерять лишь в дискретные моменты времени. Это обеспечи­вается измерительным устройством типа АЦП.

Таким образом на выходе системы мы имеем таблицу отсчетов:

Необходимо найти коэффициенты разложения в ряд фурье непрерывной функции /(t), заданной серией дискретных отсчетов на протяжении её периода.

A х

/(t) = + Z Ak • cos(k®1t + ) ² k=1

160

Рис. 4.29

2

Л

k= 1

= — • Ax =

T

T

2 ^N-1 _i 2 ш

n -S. f (t ) ^sin

( 2nki uk Л

H —

N N

' 2nki uk Л

N N

Простейшим подходом к разложению в этом случае является замена функции f(t) её ступенчатой аппроксимацией (рис. 4.29):

Тогда коэффициенты разложения в форме:

Bk =

| f (x) • cos(k©i x )dx

Ck = — • J f (x) • sin (k©1 x )dx

kw. x — k

1 г

2% * Ti _{— k} , 2% * _i . _— 2%i * _k T N N N

2 ш

^B k

7 7 ' Z f(^t i

^N i = 0

cos

k

^Ck

-2 , 2

At = —

NAt N

Естественно, что ступенчатая аппроксимация имеет большую погрешность, поэтому для коэффициен­тов ряда Фурье погрешность возрастает. Для увеличе­ния точности вычислений используют сдвинутую на по­ловину интервала дискретизации ступенчатую аппрок­симацию (рис. 4.30). Также намного более точным явля­ется случай, когда на каждом интервале At осуществ­ляется аналитическое интегрирование функций cos(kaa) и sin(ka 1 x). При этом коэффициенты раз­ложения вычисляются по формулам:

ft)

А

. сдвинутая аппрокс.

\!

At ti + — N - 1 ¹ 2

2

^B k = T - s J ^f(ti^)c°^s(^k®1^x)

^T ii==0 - AAtt ^t<- 2

t - s ^f ( ^t i )

^T i = 0

t-At/2' ¹ ._t+At/2 Рис. 4.3o

At

j ^c °^s (^k ® 1^x)^{d x}

2 n-1

T ^ЛЛ f (ti )

At

si n(k®1 x)

2

sin

kro1 -At NAt

• z f (ti )•

⁽ 2л л k Ю,

_V At • N ¹J

2n at • N

At

2

At

1

I N-1

f (Л )

kn

£ 0

sin

- sin

= Т - Ё f (ti) • 2 cos

kn i=o

0) • ■ nk „. _л 2 • sin— N-1,

f (ti) • cos

2ЛЫ N

N - 1

2

k

=0

N - 1

N - 1

2

0

2

2

N - 1

=0

161

аналогично:

■ ^nk M 1

2 ^sin~ ¹ 2ni

^с".= - N nk"^{E/ (ti)} • ^sln n *^k

i=0

N

Для дальнейшего увеличения точности следует заменить /(t) не ступенькой, а кусочно- линейной аппроксимацией.

Таким образом для ДПФ необходимо выполнить

N операций умножения. Если число отсчетов, и, следовательно гармоник увеличивается, увеличивается пропорционально N² и число операций умножения. Например, если N1 = 8, N2=32, то время расчета возрастает в 16 раз!

Для устранения этого недостатка существует группа методов, получивших название бы- строгсБПфеобразования Фурье (БПФ).

1. Электронные промышленные устройства: Учеб. для студ. вузов спец. "Пром. элек­трон."/ В.И. Васильев, Ю.М. Гусев, В.Н. Миронов и др. - М.: Высш. шк., 1988. - 303 е.: ил.

Интеграл Фурье

Как известно разложение периодической функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, в ряд Фурье имеет вид:

A ^ж

/ (t) = ₂ + _k=₁ * cos(k®1t)+Ck • sin fat)]

где ka>1 = cok = k2n/T принимает дискретные значения co1=2w^/T; <D₂=2K/T... и т.д., a коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

T T

2 2

A = Y'/ / (x)dx Bk = ~T -J / (x) • cos(k©i x )dx Ck^ -J / (x) • sin (kroi x )dx

Интервал между круговыми частотами соседних гармоник:

. Г7 1 71 2п 2 Дю

Ara = ®k+i - ® k = ^k +¹ - ^k J — ; - = —

T T n

Подставляя в формулу ряда Фурье значения коэффициентов A0, Bk, Ck:

162

k=1 T T

2 г 2 2

+ 1 t J f(x) • cos(kro₁ x) cos(kro₁t)dx + — • J f (x) • sin(kro₁ x) sin(kro₁t)dx

f (t) = 1j '1-f(x)dx +

2- 2 ² + j J f(x) • cos(kro1 x ) • dx •cos(kra₁t)+ — • jffxx • sin x )• dx sin (kra1t)

Т.к. t не зависит от x, то его можно внести под знак интеграла:

i

1 2

f (t) = J • J. f (x)dx +

I 2

T J f (x)dx + л— J f (x) • [cos(k®1 x)- cos(k®1t )dx + sin (k®1 x )• sin (k® 11)]• dx =

k=1 л t

T T

¹ Jf (x)dx + Jf (x) • cos(kro1 (t - x))« dx

^T k=1 Я t

2

Устремляя T к бесконечности, заключаем, что если функция f(x) абсолютно интегрируе- ма в бесконечных пределах, т.е. если конечен интеграл

-1-00

|| f ( x)| dx

+ T

k= 1

то конечное значение имеет также интеграл

| f (x) • cos(kro₁ (t - x ))dx

F + T

2

при любых cok и t. При этом же условии lim j • ( ^x)dx 0.

T

j

v 2

При ТЛ-oo Ла>л0 (A(oЛda>), суммирование заменяется на интегрирование в пределах от 0 до +да. Таким образом, выражение для f(t) преобразуется к следующему виду:

1 <ю

f (t) = — • J dm J f (x) • cos(ro • (t - x ))dx (4.2)

0 -те

163

164

Таким образом, имеется аналогия в преобразованиях Ла- пласа и Фурье, в частности и то, и другое можно использовать при расчете переходных процессов.

Рассмотрим спектр некоторых наиболее часто встре- чающихся сигналов [4]. Для иллюстрации найдем спектр ви- деоимпульса - одиночного прямоугольного импульса, имеюще- го длительность tu.

Рассмотрим спектр некоторых наиболее часто встречающихся сигналов. Для иллюстра- ции найдем спектр видеоимпульса — одиночного прямоугольного импульса, имеющего дли- тельность tu (рис. 4.31).

2 - r'u

S ^л L e 2

j^a

с формулами прямого и обратного преобразования Фурье, заключаем, что преобразова­ние Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, получается из него прир = ja и применимо для более узкого класса функций f(t). Следовательно частотный спектр F(jrn) функции f(t) получается из её Лапласова изображения F(p) по формуле:

^{F (}j®) = ^{F (}р)|

ip = jrn

Рис. 4.31

f (t)

A 0 < t < tu 0, t > t„

_A

F (jrn) = J f (t) • e" ^J(a^tdt = J A • e ~ ^dt = - — • e - j

m

j a ^t U

2 A jO Итак:

e ²

2A j®

- I a U

2

¹J • sin

\ a J

- r^tu

sin

2A • e 2

\ a J

sin

F (j©) = 2 A ■

sin

f (J©) = 2 A ■

v 2

Найдем точки, в которых спектральная плотность амплитуд принимает нулевые значения:

a = =

2

2

t.

0

0

®

0

и

2

2

165

График спектральной плотности амплитуд импульсной функции представлен на рис. 4.33 сплошной линией. Рассмотрим ступенчатую функцию 1(t). Ее спектр определяется через инте­грал:

<» е - j m t

F (jrn) = Jl(t) • е - J^atdi = -

jW

1 a

Спектральная плотность амплитуд ступенчатой функции (единичного скачка) представле­на на рис. 4.33 пунктирной линией.

lF(ja)l

lF(ja)l

S,.

0

^f

Рис. 4.32 Рис. 4.33

Рассмотрим теперь наиболее характерное применение преобразования Фурье — опре­деление переходной функции по вещественной частотной характеристике.

Предположим на некоторую схему с передаточной функцией H(p) воздействует единич­ный скачок 1(t). Тогда на выходе появится сигнал, соответствующий переходной характеристи­ке h(t). Выше было показано, что h(t)^AH(p)/p. Предположим, что нам неизвестна форма h(t), но зато известен вид частотной характеристики системы H(ja>). Она может быть найдена из H(p) простой заменой p на ja>.

Тогда, если частотная харатеристика H (j a), то она соответствует спектральной плотности сигнала, который получается при подаче на вход дельта-функции 8(t).

t

Известно также, что h(t) = |g(t)dt или h'(t) = g{t), т.к. мы переходим от спек-

0

тральной к временной характеристике. Можно показать, учитывая четность тригонометриче­ских функций и то, что g(t) = h'(t) = 0 при t<0, что переход от комплексной спектральной ха­рактеристики H(ja>)=B(a>)+jM(a>) к вещественной Б(а>) даёт соотношение:

h (t) = j B(ro)cos(rot )dm

0

166

h(t) = fh'(t)dt = ² • f B(®)d® fcos(rat)dt = ² • f Б(ю)- d < »

0 ^Я 0 0 ^Я 0 ^ш

Сравнение ряда методов расчета переходных процессов в линейных цепях.

1. Классический метод можно использовать для решения дифференциальных уравнений до 4-5 порядка.

2. При использовании операторного метода трудно перейти к оригиналу — функции вре­мени.

3. Если воздействие на схему дано в виде функции с разрывами, то удобно использовать интеграл Дюамеля.

4. Преобразование Фурье используется, если использовали частотные методы до этого (т.е. имеются частотные характеристики схемы)!

Быстрое преобразование Фурье

Как было показано выше ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

1 ^Т

f{t) = X D k • e j^t o I^t, где Dk = --J f(x)^ e~^A*dx (k = 0, +1, +2, +3 ...) (4.9)

Пусть функция времени задана дискретными отсчетами в равноотстоящие друг от друга моменты времени to=0, tj=At, t2=2At, ... ti=iAt, ... tN-1 = (N-1)At, tN=T, где Т — период, At=T/N (рис. 4.34).

Рис. 4.34

Для такой функции приближенные значения коэффициентов разложения в ряд Фурье Dk могут быть найдены с помощью дискретного преобразования Фурье. Формула дискретного преобразования Фурье может быть получена из формулы для нахождения коэффициентов ря­да для непрерывной функции времени при замене ее ступенчатой аппроксимацией, которая определяется отсчетами функции в дискретные моменты времени ti=i-At. Так, например, ком­плексная форма записи дискретного преобразования Фурье имеет следующий вид (см. нахож­дение Dk для непрерывной функции времени (4.9):

1

Dk = ,^Л

f И )• e

j-2 nki N

где k — номер гармоники, i — номер отсчета.

k=-<io

N -1

0

167

168

1 N /2-1 j 2nk„2i - N/2-1 j 4nkvi

N

^D'k'i =_N t If ( 2 i - ^A t)' e ^N • 2At =_N - Xf(2i-At)-e

^N • A ^t г = 0 ^N i = 0

Dk? = ? •[Dk 1⁾ + Wn? • Dk2⁾ ]

_- |'²" k ?

Dk?+N/2 = [Dk? -Wk? •D k 2⁾] , где W k? =e ^N k 1 = 0, 1, ... N /2-1 (4.1?)

9 N/2-1 j 4 nkj-i

N

Dk?,' = (2' -At )• e

^N i=0

169

vT + —

1— =" 2 2

о N/2-1

j 4 л

Dk2⁾

-2 . £ f ((2/ + 1).At). е

1

2 2

операции умножения

^{( N}_— I 2

N Л N — — + N

2 )

+N — операций сложения

Следовательно общее число арифметических операций уменьшается в

2 2

2N /(N +1.5N) = 2N/(N + 1.5) раз, вдвое сокращается и число требуемых отсчетов весовых коэффициентов WN^k1.

Аналогичным образом снижается объем расчетов и при вычислении промежуточных спектров Dk/¹ и Dk/²⁾ В пределе каждая промежуточная выборка содержит лишь два отсчета сигнала, а общее число сложений при использовании БПФ составит N-log2N, операций умно­жения потребуется (N/2) 4og2N. Доказать последние соотношения можно с помощью метода математической индукции. Пусть N = 2^m.

Нижний предел числа отсчетов — 4. В этом случае производится 2 выборки по два отсче­та:

Вычисление Do^(p) и D/^p p=1, 2) с помощью одной выборки по два отсчета содержит 2 сложения и одно умножение (если учесть, что при k1 = 0 или i = 0 е^0]=1, и умножение про­изводить нет необходимости);

Вычисление 4-х промежуточных коэффициентов D0, Dh D0, D1 с помощью двух выборок (четной и нечетной) по два отсчета содержит 2+2=4 сложения и два умножения.

Согласно группе соотношений (4.11) нахождение коэффициентов разложения D0...D3 по 4-м отсчетам требует еще 4 сложения и 2 умножения. Таким образом всего для нахождения D0...D3 по 4-м отсчетам потребуется 4 умножения и 8 сложений.

N = 8 — умножений 4-2+4 = 12 = 2²-3; сложений 8-2+8 = 24 = 2³-3;

N=16 — умножений 12-2+8 = 32 = 2³-4; сложений 24-2+16 = 64 = 2⁴-4;

N=32 — умножений 32-2+16 = 80 = 2⁴-5; сложений 64-2+32 = 160 = 2⁵-5;

N

0

и

N

N = N = 2^m —умножений N/2-log2N; сложений N -1 o g 2 N

Итак индукционное предположение:

умножений — N. iog2 N, сложений — N • log2 N.

Доказывается методом математической индукции:

Пусть формулы для числа умножений и сложений верны для числа отсчетов N=2ⁿ, т.е.: kx = (N/2) l o g N = (2n/2) log2(2n) = 2И¹) n k+ = N[log2N] = 2n-log2(2n) = 2nn

для сложений ^N' ^Iog2^N " ^Iog2^N " ^Iog2^2m " ^m

N² _ 2N _ 2m⁺¹ _ 2m⁺¹

для умножений (^N/2>^|og2^N = л = ^{1 0} g л = ^m

Таким образом применение БПФ обеспечивает выигрыш в числе требуемых операций, который будет тем больше, чем больше число отсчетов сигнала N.

Граф вычисления коэффициентов ряда Фурье с помощью БПФ для функции, заданной 8-ю отсчетами f0, f1, ..., f7)

Л 7+ Do

Л — w* + d4

\ N / ^л

Л

л

f i

Л

⁶ / /, <

—> /

-N- / \ + ' —

x

+

П

л + л

w>

+

D.

D

+

D D

Л

+ D

Рис. 4.35

f

5

6

7

» - w

» - w

»- w

171

Т (р) = + + — + ^л = У

Р - Р1 Р - Р2 Р - Рп i=i Р - Pi .

Можно показать, на основе теоремы разложения, что, если psЛpk, т.е. все корни полино­ма В(р) различны, то коэффициент K определяется соотношением:

172

⁽p)(p - Pi'

Ж P)

p=P i

Определение коэффициентов разложенияимеет простую геометрическую интерпрета­цию: перепишем формулу для коэффициентов Ki в виде:

K =

^K 0( P - ^Z1)( P - ^Z 2 > " ( P -

^Z m '

⁽P - Pl⁾⁽ P - Pi)

P - Pi-1⁾⁽ P - Pi₊1⁾

P - Pn ⁾

P= Pi

Теперь каждый член разложения в числителе есть вектор, проведенный из нуля Zj (j = l, 2, ... m) полинома в полюсPi, а каждый член в знаменателе — вектор, проведенный из полюса Pj j = l, 2, ...i-l, i + l, ...n) полинома в полюс Pi. Модули векторов, связывающие j-ый ноль с i-ым полюсом, называются нулевыми расстояниями; модули векторов, связываю­щих j-ый полюс с i-ым полюсом, называются полюсными расстояниями. Таким образом, ко­эффициент разложения равен отношению произведений нулевых и полюсных расстояний с полюсом P{:

K

K

n z

UP

P=Pi

Мы рассмотрели связь между частотной и обобщенной характеристиками линейной схе-

мы.

Введем теперь понятие импульсной и ступенчатой функций.

Единичная ступенчатая функция — единичный скачок напряже­ния, который может быть реализован путем подключения идеального источника ЭДС мгновенно действующим ключом. Временная диа­грамма ступенчатой функции имеет вид рис. 4.36. Функция описыва­ется уравнениями:

1(t) =

0, t < 0 t > 0

Рис. 4.36

Для введения понятия импульсной функции рассмотрим функцию в виде линейно нарас­тающей от 0 до 1 величины за время от -т/2 до +г/2, а также ее производную:

0,

t <~

Л)ч2Ч' /

s ^х-

t >- 2

t <-

X X

- < t <- 2 2

X t >- 2

Рис. 4.37

0

173

По аналогии можно ввести соответствие между импульсными и обобщенными характери- стиками схем:

1

g(t) = i Т(Р)е^р^р

о - j X t * х -.-

g (t) - t (p)

TO

T (P) = J g (t )e" ^ptdt

Переходная характеристика цепи — это ее реакция на во- Р хдействие в виде ступенчатой функции. Если переходная харак- теристика имеет вид рис. 4.38:

h(t) = h(0) -l(t) + h1(t)

Площадь, ограниченная кривой производной, равна , причем она не зависит от величины I. Будем уменьшать величину т: тло. Рассмотрим предельный переход:

f (t) = 1(t)

d[1 (t) ]

Связь между импульсной и частотной характеристиками дается преобразованием Фурье в виде:

1 +<ю

g (t) = 2nJ Т (jffl)e^Jtotdffl

Импульсная характеристика цепи, это, как известно, реакция на 8-функцию, представ­ляющую собой импульс бесконечно большой амплитуды с длительностью равной 0, в резуль­тате чего вольт-секундная площадь его постоянна и равна 1.

С другой стороны, импульсной характеристике соответствует частотная, которая может быть определена обратным преобразованием Фурье в виде:

то

Т ( jffl) = j g (t )e~ ^J<^atdt

h(t) %(t) ₀ JhM

Рис. 4.38

то связь между переходной и частотной T(jra) характеристиками указанной цепи дается в

виде:

то

Т (j®) = h(0) + J h1(t )e" ^j(atdt

174

л / а ² + ю ²

i(t) = z

к=1 ^F 2 ( I ® k

t

RC

- aCE , _t

i(t) e '^at + e ae

1 - a RC „ 1 aRC - 1

RC a

RC

Напряжение можно определить последующим интегрированием. Более просто:

^F 2 ⁽

Связь между переходной и обобщенной характеристикой цепи имеет вид:

1 1 j® т ( )

h(t) = — T(P), или что то жесамое h(t) =— [ • e^ptdP

P ^2% J m P

ПРИМЕР.

e(t)

Рис. 4.39

e(t)

E

-jarctg

^p + ^a ; E (j ®)

E (ю) =

E

Z(p) = Л

0(ю) = -arctg

v a y

+

1 1+pRC

PC

I (P) =

E( P) = , E • pC Z(p) (p + a)(1 + pRC)

pC I O ) =

j®C • E (a + j®)( j® RC +1)

Fit

I (J®) =

*

j®)

E / R

F 1 ( / Ч I „ J * k t

J®1 = - А ; J<»₂

CE

RC

RC

RC

H (p) =

J L

PC

PC

U (p) =

E P p + a p + P

J _

_ r c _

p + ^л P + P RC

. 1 RC

P

E P

U (ja>) = 7T

(J" ш + а)( j ю + р)

R

С

t

1

⁾

1

e

1

Р

л n R C + 1

R +

P

175