• малосигнальные

Малосигнальные модели, как правило, представляют собой линейные модели; модели для большого сигнала учитывают нелинейность характеристик активных и пассивных элемен­тов схемы (биполярных и полевых усилительных приборов).

5. По диапазону рабочих частот выделяют:

• низкочастотные

• высокочастотные

• сверхвысокочастотные

Низкочастотные модели не учитывают инерционность компонентов модели и, поэтому низкочастотные модели используют для расчета схем по постоянному току (в статическом ре­жиме).

Высокочастотные модели — модели более высокого уровня, они учитывают помимо осо­бенностей статического режима инерционность компонентов. Поэтому такие модели дополня­ют системой дифференциальных уравнений, учитывающей инерционность компонентов, или эквивалентными схемами реальных приборов на высоких частотах — индуктивностями и емко­стями выводов, инерционностями, определяющими физические процессы в компонентах (на­пример, накопление заряда), емкостями областей структур и т.п.

Особенность низкочастотных и высокочастотных моделей состоит в том, что они выпол­няются на сосредоточенных элементах и поэтому для этих моделей справедливы законы Кирх­гофа.

СВЧ модели отличаются от высокочастотных моделей учетом пространственных и вре­менных координат, поэтому для анализа и расчета СВЧ-схем необходимо использовать урав­нения Максвелла. Применение законов Кирхгофа оправдано лишь в диапазоне частот до 10 гГц, где размеры компонентов (особенно компонентов ИС) остаются меньше длины волны 1=3 см.

2.2 Интерполяция и аппроксимация функций при создании моделей

При решении многих задач электроники возникает необходимость обработать результаты экспериментальных исследований и использовать их в дальнейших расчетах в виде некоторых аналитических зависимостей. Т.е. ставится задача нахождения вида аналитических функций, которые бы достаточно достоверно отображали полученные экспериментальные результаты, представленные, например, в виде таблицы. Эта задача называется задачей интерполяции функций. Полученное аналитическое выражение является формальной математической моде­лью исследуемого устройства или компонента.

2.2.1 Интерполяция функций

Строго говоря, интерполяцией называется нахождение значений функций, соответствующих промежуточным значениям аргумента, которые отсутствуют в таблице. Однако, в связи с тем, что для этого необходимо так или иначе построить аналитическое выражение для функции, то именно этот процесс и называется интерполяцией (т.е. действие, обратное табулированию).

С математической точки зрения задача интерполяции ставится таким образом: пусть задана некоторая функция f(x), значения которой известны в некотором ограниченном числе точекхо, x\, Х2, ... xn, причем:

f(xo)=yo; f(xi) = yi, ...f(xn)=yn

27

Систему можно, в принципе, решить любым из методов, однако попытаемся облегчить решение задачи, воспользовавшись другим подходом. Построим полином с непосредственно заданными свойствами.

Построим формулу для некоторого многочлена, который в т. y = x0 принимает значение, равное 1, аво всех других точках — значение равное 0. Этот полином будет иметь вид:

(x xi )(x x2 * * (x xn)

n)

i при x = x0

|0 при x = x i ,x2 ,_,xn

Аналогично построим Aj(x), которое удовлетворяет следующим свойствам:

[i при x = xi

(^xi ^x0 )(^xi ^x 2 X^xi ^x3

В общем случае, A(x), удовлетворяющее условию:

i при x = xj 0 при x = xt, i ф j,

может быть представлено в виде:

Необходимо найти некоторую функцию F(x), которая проходит через точки (x0, y0), (xi, yi), ... , (xn, yn).

Решение поставленной задачи, вообще неоднозначно, т.к. функций F(x) может быть бесконечно много. Однако обычно F(x) ищется в виде многочлена степени n на единицу меньшей, чем число узлов интерполирования. Такая задача называется задачей параболической интерполяции, а формулы для построения — интерполяционными формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Будем искать многочлен F(x) в виде:

F (x) = a0 + ai x + a2 x² + a3 x³ +... + anxⁿ

При этом можно записать систему алгебраических уравнений вида:

2 n

a{) aixo a2xo ^лл • • • ^лл anxo — Уо

a0 + ai xi + a2 x² +... + anxi = yi

a0 + ai xn + a2 x² +.

Ao(x)

(^x 0

)(^x0

2 ) " ' ( ^x 0

Очевидно, что:

Ao(x) ■

Ai(x) =

Он, очевидно, имеет вид:

10 при x = xi, i Ф i, i = 0,2,3,

A (x) =

(^{x x}0 X^{х x} 2 ) л (

n)

x i x

n )

A, (x)

i = 0,i, _,n

anxⁿ

y n

n

28

x ^Л {x Xo )(^X X| (^X X j _J )(^X X j + 1 (x Xn )

(x j - ^x0 ЛXj -^xl)...(X j - ^XJ_| ЛXj -^XJ + ij(^xl - ^x3 ) - (x j - ^xn )

Теперь нетрудно заметить, что многочлен, составленный в соответствии с соотношением:

i A (x)yj

j=0

Обладает всеми свойствами искомого полинома: т.е. имеет степень n ив точках xo, xit x2,..., xn принимает значения, соответственно yo, yi, y2, ...yn. Таким образом, искомый многочлен найден:

_ _X ^{(x X Q}Xx - X1).. ,(^x -^xj_j )(^x -^xj+j )... (^x - ^xn )

^{F (x)} - ^X

j⁼ⁱ

Можно показать, что найденное решение является единственным, если xj^xi при всех

Интерполяционная формула Ньютона

Интерполяционная формула Лагранжа позволяет решить задачу интерполяции для случая, когда узлы интерполяции расположены произвольным образом. При этом все коэффициенты интерполяционного многочлена находятся одновременно. Решение задачи упрощается, если предположить, что табличная функция f(x) задана на равноотстоящих значениях аргументов:

xo, xo+h-xi, xo+2h-x2, xo + nh-xn.

Значения функции в узлах интерполяции по-прежнему будем обозначатьyo, yi, ... yn . Будем искать интерполяционный многочлен в виде:

F(x) — a (x xo л a2 Лx xo )(x Xi л ал Лx xo Xi ллx X2 л лл * * * + an (x XoXx XiXx X2 • • (x Xn_i л

При этом, если x-xo, то F(x)-ao-yo, т.е. ao-yo. Если x-xi, то F(x)=yi=yo+ai(x-xo)=yo+aih. Тогда:

a - V i ~ yo - ^a-«l i h h .

Величина yi - yo-Ayo называется конечной разностью 1-го порядка функции f(x) в точке

xo.

Рассмотрим определение коэффициента a2. В точке x-x2 имеем:

^F(x 2⁾ - У 2 - yo h (x2 - x 0) + a 2 (x 2 - xo X^х 2 - ^xi)

^{F (x} 2 ⁾ = У 0 + ^АУ 0 + ' 2 ^h = У 2

a - У 2 - ² -Ay o - У o - У 2 - ² • yi +² У o - У o -( У 2 - У i) - ( y i - У 2) - Ay i - Ay o - A² y o 2 2h² 2h² 2h² 2h² 2h² .

29

⁾

(-1)(-1 -1) = 2 x² + 3x + 6

Полином имеет вид:

Величина Л²у0 называется конечной разностью второго порядка функции f(x) в т. x0.

A²yo = Ayi - Л у о = у 2 - 2 y i +уо. Продолжая рассмотрение дальше, несложно показать, что:

А 3 У0 _ Д 2 У1 - Д 2 У0 _ УЗ - ³ У 2 + ³ У - У0

3l-h

3l-h

3l-h

где Л³у0 — конечная разность 3-го порядка функции f(x) в т. x0. Величина Л³у0 определяется через конечные разности более низких порядков и через значения функций в точках интерполяции в виде:

А³ У0 = А² У 1 - А² У0 = УЗ - ³ У 2 + ³У 1 - У0

Можно показать, что общий вид коэффициента ak может быть представлен формулой:

Д*У0

a 3 = ³ k l h

а значения конечной разности k-ro порядка в общем виде представляются:

^{л л} • yk -

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона представляется в виде:

^F ( x ) = У 0

0 X

+ - + — . ( x - x0Xx - x1 )••• (x - xn l) nl-h ⁰ A xl V n~x)'

Рассмотрим пример составления интерполяционного полинома для некоторой функции f(x), таблично заданной в виде:

x0=1; xi=0; x2=1;

У0=5; yi = 6; у2=11.

Интерполяция по методу Лагранжа:

Формула Лагранжа (степень полинома =2) имеет вид:

F ( x ) _ ( ^x ~ ^x i ) ( ^x ~ ^x 2 ) у

(^x0 _^xi)(^x0 _^x 2)

(^x-^x0)(^x~^x2) у

( ^x i _ ^x 0 ) ( ^x i _ ^x 2 )

( ^x ~ ^x 0

(^x 2 _ ^x 0 ) (^x 2 _^xi)

) у

x -(x^TT) —(x"+TT(x-i) (x+r)-x 2 F(x) = ^At — B т + у—т—¹ +1 1 \ (— = 2,5x -2, 5x- 6x + 6 + 5,5x + 5,5x =

1 -(-i)

(1 +1)-1

F (x) = 2 x² + 3x + 6

Интерполяция по методу Ньютона

Формула интерполяционного полинома имеет вид:

30

3

x Г\ I

x

X

0

x

x

x

X^x ~ x