- •Теорія статистичної оцінки
- •3.1. Поняття точкової статистичної оцінки
- •3.2. Властивості точкових оцінок
- •3.2.1. Незміщені оцінки
- •3.2.2. Ефективні й спроможні оцінки
- •3.3. Поняття интервального оцінювання
- •3.3.1. Довірча ймовірність. Довірчий інтервал
- •3.3.2. Довірчий інтервал для генеральної середньої нормального розподілу при відомому
- •3.3.3. Довірчий інтервал для генеральної середньої нормального розподілу при невідомому
- •3.3.4. Довірчий інтервал для дисперсії й середнього квадратичного відхилення нормального розподілу
3.3.4. Довірчий інтервал для дисперсії й середнього квадратичного відхилення нормального розподілу
Нехай кількісна ознака генеральної сукупності розподілена за нормальним законом і по вибірці об'єму визначені вибіркова середня , виправлена дисперсія й середнє квадратичне відхилення .
Випадкова величина
(3.19)
має – розподіл (розподіл Пірсона) із числом ступенів свободи k= п–1. Випадкова величина з – розподілом приймає тільки невід’ємні значення. По таблиці – розподілу можна знайти значення , що задовольняє наступну умову: .
Використовуючи таблицю – розподілу, знайдемо такі значення u1 і u2, які при заданій довірчій імовірності задовольняють умову:
. (3.20)
Однак таких чисел нескінченно багато. Щоб зафіксувати одну таку пару й1 і й2, уведемо додаткову умову (симетричність по ймовірності):
. (3.21)
Значення й2 знаходиться безпосередньо по таблиці – розподілу. Для знаходження й1 використовуємо ймовірність протилежної події
. (3.22)
Замінивши у формулі (3.20) величину її виразом з формули (3.19) і виконавши перетворення, одержимо довірчий інтервал для дисперсії :
. (3.23)
Витягаючи квадратний корінь із всіх частин подвійної нерівності, що визначає довірчий інтервал для дисперсії , одержуємо довірчий інтервал для середнього квадратичного (стандартного) відхилення нормального розподілу:
.
1 Бессель Фридрих Вільгельм (Bessel, Friedrich Wilhelm) (1784-1846) – німецький астроном та математик.
2 Стьюдент (Student) [псевдонім Уильяма Сілі Госсета (William Sealy Gosset)] – англійський математик та статистик. Один из засновників теорії статистичних оцінок і перевірки гіпотез.
3 Число ступенів свободи – це число експериментальних точок мінус число оцінюваних параметрів.