3.3. Поняття интервального оцінювання

Як ми вже відзначали, іншим – поряд із точковою оцінкою – розділом теорії оцінки є інтервальна оцінка. Вона заснована на визначенні (за даними спостереження) такого числового інтервалу, щодо якого, із заздалегідь установленою ймовірністю правильності судження, можна зробити висновок, що всередині цього інтервалу знаходиться справжнє значення оцінюваного параметра. У певному сенсі оцінка інтервальна – узагальнення оцінки точкової.

При інтервальній оцінці ми обмежуємося встановленням числового інтервалу, всередині якого може знаходитися оцінюваний параметр. У той же час є можливість перевірити ступінь відповідності наших суджень дійсності. Імовірність того, що визначений нами інтервал містить у собі справжнє значення параметра, є показник того, наскільки часто при багаторазовому повторенні випадкової вибірки ми будемо припускатися помилки судження. При інтервальній оцінці помилкою оцінки стає той факт, що справжнє значення параметра не перебуває в межах визначеного нами інтервалу.

3.3.1. Довірча ймовірність. Довірчий інтервал

Оцінки T невідомого параметра , розглянуті вище, називають точковими, тому що вони визначають одне значення, одну точку на числовій осі. Всі точкові оцінки параметрів розподілу генеральної сукупності обчислюють по вибірках, але через випадковість вибірок оцінки є випадковими величинами, що відрізняються від постійного справжнього значення параметра . Позначимо точність оцінки через , тоді . Чим менше , тим точніше оцінка.

Будь-яку точність можна одержати з певною ймовірністю :

. (3.3)

Визначення. Імовірність  виконання нерівності називається довірчою ймовірністю або надійністю.

Довірча ймовірність задається звичайно значенням, близьким до одиниці, наприклад, 0,95; 0,99; 0,999 і т.д.

Перетворивши вираз (3.3), одержимо

,

або

. (3.4)

Визначення. Довірчим інтервалом або інтервальною оцінкою параметра  називається інтервал , що містить у собі значення параметра  із заданою, близькою до одиниці довірчою ймовірністю .

Оскільки значення оцінки T невідомого параметра змінюється від вибірки до вибірки, то межі довірчого інтервалу є випадковими величинами, що приймають різні значення для кожної з вибірок. Якщо здійснювати побудову довірчого інтервалу по досить великій кількості вибірок, то відносна частота інтервалів, яким належить оцінюваний параметр , приблизно дорівнює обраній довірчій ймовірності . Наприклад, якщо обрано довірчу ймовірність =0,95 і сформована досить велика кількість вибірок, то 95% з них визначають такі довірчі межі, всередині яких буде знаходитися оцінюваний параметр , і лише 5% інтервалів його не містять. Отже, довірчу ймовірність не слід зв'язувати з оцінюваним параметром, тому що вона зв'язана лише із межами інтервалу, визначеними по випадкових вибірках.

Точність оцінки фактично визначає довжину довірчого інтервалу (2 ).

Визначення. Величина  = 1 –  називається рівнем значущості й показує, з якою ймовірністю висновок про надійність інтервальної оцінки є помилковим.

Довірча ймовірність , точність оцінки й об'єм вибірки п зв'язані між собою. Якщо визначені дві величини, то тим самим визначена й третя.