33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора

Теорема 6.12.

Функция аналитическая в круге разлагается в этом круге в степенной ряд Тейлора, т.е. для имеем

(6.55)

где и при этом указанное разложение единственно.

Пусть любая точка принадлежащая кругу Построим окружность такую, что точка находится внутри окружности (рис. 6.8). Тогда по формуле Коши имеем:

(6.56)

Рассмотрим (6.57)

Где Обозначим и отметим, что

(6.58)

так как а точка находится внутри окружности,

(6.59)

так как

Запишем более подробно

И теперь (6.57) запишем

(6.60)

Умножим ряд (6.60) на

(6.61)

Полученный ряд (6.61) равномерно сходится относительно переменной , так как

и числовой ряд

сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем

Следовательно, на основании теоремы 6.5 ряд (6.61) можно интегрировать почленно

(6.62)

По формуле Коши имеем

по интегральным формулам для производных (см. параграф "Бесконечная дифференцируемость аналитических функций") имеем

Из (6.62) теперь получим

(6.63)

Ряд (6.63) можно записать в виде

(6.64)

где

(6.65)

Степенные ряды, у которых коэффициенты определяются формулами (6.65), называются степенными рядами Тейлора функции .

Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Докажем теперь, что разложение в степенной ряд единственно.

Допустим, от противного, что наряду с разложением (6.64) для каждого имеем

(6.66)

Из (6.64) и (6.66) имеем

(6.67)

Подставляя в последнее равенство , получим

т.е. .

Дифференцируем почленно ряды (6.64) и (6.66) и получим

(6.68)

(6.69)

Из (6.68) и (6.69) получим

(6.70)

Полагая в равенстве (6.70) получим

Продолжая это процесс, получим при любом

Единственность доказана.

Теорема доказана.

Следствие.

Если функция аналитична в точке , то в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд Тейлора.

В самом деле, аналитичность в точке означает, что функция аналитична в некотором круге с центром в точке , который и является окрестностью точки , а тогда по теореме в этой окрестности-круге функция разлагается в степенной ряд.