25. Теорема Коши для многосвязной области
Всякая неодносвязная область называется
многосвязной. Рассмотрим, например,
многосвязную область, граница которой
состоит из замкнутой кривой (замкнутого
контура)
и
замкнутых контуров
лежащих внутри
(рис. 5.10). На чертеже у нас
Границу многосвязной области обозначим через .
Интеграл по границе определим равенством
(Замкнутый
контур
при интегрировании обходится в
положительном направлении, контура
- в отрицательном).
Теорема 5.4. (Теорема Коши для многосвязной области).
Если комплексная функция аналитична в многосвязной области и на ее границе , то интеграл по границе области равен нулю, т.е.
Доказательство.
Рассмотрим случай
(см.
рис. 5.10). Проведем дополнительное
построение: соединим отрезком
кривые
и
отрезком
и
,
отрезком
и
.
Получим две односвязные области
с границей
и
с границей
По следствию 1 из теоремы Коши для
односвязных областей
и
имеем:
Складывая эти два равенства, получим
Запишем это равенство подробнее:
Учитывая, что
а также, что
получим
т.е.
что и требовалось доказать.
Следствие.
При условиях теоремы
В самом деле по теореме имеем
Отсюда
что и требовалось доказать.
Если
(рис. 5.11), то последняя формула имеет
вид
Пример.
Вычислить интеграл
,
где
лежит внутри
.
Построим окружность
:
(рис. 5.12). В области
,
ограниченной окружностью
и кривой
,
подынтегральная функция
аналитична. Она аналитична также на
кривых
и
.
Значит по следствию имеем
Но ранее нами доказано , что
Значит
для любой кривой , содержащей внутри себя точку .
26. Формула Коши
Теорема 5.5.
Если функция аналитична в односвязной области и на ее границе, a - любая точка этой области, то
(формула
Коши), где
-
граница области,
.
Доказательство.
Пусть
-
любая точка области
.
Построим окружность
радиуса
с центром в точке
и принадлежащую
(рис. 5.13). Рассмотрим также вспомогательную
функцию
заданную в
замкнутой области
. (Точка
здесь рассматривается как переменная,
).
Функция
аналитична во всех точках области
,
кроме точки
,
где знаменатель обращается в нуль. Эта
аналитичность вытекает из аналитичности
числителя
и знаменателя
в области
и на ее границе. В силу аналитичности
функция
непрерывна в указанных точках
Покажем, что при функция также непрерывна.
В самом деле
т.е ,
что и означает непрерывность. Таким
образом, функция
непрерывна в (Замкнутой области
а значит функция
ограничена в
,
т.е.
такая, что для
имеем
Применим
теперь к функции
и многосвязной области, ограниченной
замкнутыми кривыми
и
,
следствие из теоремы Коши для многосвязной
области
и получим
Отсюда получим
где
- длина окружности
, при этом радиус
может быть сколь угодно малым.
Итак имеем
где
,
будучи положительным, стремится к нулю
при
Но
Следовательно, из неравенства
имеем
а значит,
Подставим
вместо
его значение и получим
так как
не зависит от переменной
, то
можно
вынести за знак интеграла. Но
следовательно
.
Отсюда и следует формула Коши.
Теорема доказана.
Замечание 1.
Формула Коши дает возможность решать две задачи.
1-я задача - так называемая краевая задача.
Найти значение функции
в любой внутренней точке
односвязной области
,
если известны значения этой функции
на границе области
- кривой
,
т.е. при
.
Формула Коши
дает решение
поставленной задачи: вычислив интеграл
и разделив его на
,
получим
- значение функции
в
любой точке
.
2-я задача. Вычислить интеграл
где - функция аналитическая на замкнутой кривой и внутри ее.
По формуле Коши имеем
Отсюда
Поставленная задача 2 решена.
Замечание 2.
Формула Коши имеет место и для многосвязной области, т.е. если функция аналитична внутри многосвязной области и на ее границе , a - любая внутренняя точка области (рис. 5.14), то
где
Доказательство этого утверждения
имеется в книге
.