58. Методика введения понятий сферы. Шара и их частей, их площадей поверхностей и объёмов.

У Атанасяна)

Сначала просто дается, а затем выводят ее с использованием V шара.

Док-во: сфера, описанный около многогранника с n гранями. Соеденим центр и вершины n пирамид.

Объем i-пирамиды равен , тогда , Pn – площадь поверхности многогранника

Отсюда получаем (*).

Увеличиваем n так, чтобы размер каждой грани описанного многогранника 0

При этом ––объем многогранника - объем шара. Если размер грани не превосходит , то описанный многогранник содержится в шаре радиуса , с центром в точке О. с другой стороны он содержит исходный шар радиуса R. Поэтому

Так как при ,то и

(У Шлыкова) за площадь сферического сегмента, образов. вращением дуги полуокружности вокруг диаметра, принимается предел, к которому стремиться S поверхности, образуемой вращением вокруг того же диаметра правильной вписанной ломаной, когда ее звенья неограниченно уменьшаются.

Теорема : площадь сферического сегмента = произведению его высоты на длину большей окружности

(R- радиус сферы ,частью которой является сегмент; H - высота )

+док-во мелким шрифтом

Следствие1: площадь сферического пояса = произведению длины большей окружности на высоту пояса

(R- радиус сферы, h- высота сферического пояса)

Док-во: Пусть CD=h, равна разности между площадью сф. Сегмента, высота которого AD, и площадью сф. Сегмента c высота AC.

Т.о.

Следствие2: площадь сферы равна , где R - радиус сферы

Док-во: сферу делят на1/2 2 сферич. сегмента.

Пусть высота этих сегментов и . Площадь сферы равна сумме площадей этих сегментов: ■

(У Погорелова как у Атанасяна), только

S’ – площадь поверхности описанного многогранника

Расстояние между двумя точками многогранника <

Говорится, что и для сегмента аналогично и получим без док-ва