Вопросы и задачи для самопроверки:

1. Какой компонент электрической цепи называется конденсатором?

2. Что такое ёмкость конденсатора?

3. Чем определяется заряд, накапливаемый в конденсаторе?

4. Что такое катушка индуктивности?

5. Что такое RC-цепь?

6. В каком случае конденсатор, включённый в цепь с источником постоянного напряжения, препятствует электрическому току, а в каком нет?

7. Сформулируйте закон коммутации для RC-цепи.

8. Обоснуйте справедливость закона коммутации.

9. Как определить изменение во времени напряжения на конденсаторе, если известен закон изменения во времени тока, заряжающего или разряжающего конденсатор?

10. Запишите закон изменения тока во времени для простейшей RC-цепи при замыкании ключа.

11. По какому закону происходит заряд конденсатора, осуществляемый от источника постоянного напряжения через резистор?

12. Может ли напряжение на конденсаторе измениться мгновенно? Почему?

13. Как рассчитываются переходные процессы в RC - цепях при воздействии прямоугольного импульса?

14. Как зарядятся два последовательно соединенных конденсатора, присоединенных к источнику постоянного напряжения?

15. Может ли какое-либо напряжение в цепи, содержащей конденсатор, изменится мгновенно?

16. Нарисуйте зависимость напряжения U_ВЫХ после замыкания и размыкания ключей в следующих схемах (считать, что ключи в исходном состоянии были бесконечно долго):

17. Нарисуйте выходные импульсы, которые получатся при подаче на вход следующих rc - цепочек прямоугольных импульсов.

1.3. RC-цепи при синусоидальном сигнале.

Рассмотрим характер процессов, происходящих в металлических проводниках, при приложении к ним синусоидального источника э.д.с. Отметим, прежде всего, что при отсутствии э.д.с. электроны, находящиеся на внешней оболочке и слабо связанные с атомами, при комнатной температуре хаотически и с большими скоростями двигаются в различных направлениях, периодически сталкиваясь с ионизированными атомами. Усреднённый по времени суммарный вектор скоростей движения электронов равен 0. При приложении э.д.с. появляется усреднённый по времени суммарный вектор скоростей электронов, направленный от – к + источника э.д.с., т.е. возникнет дрейф электронов в одном направлении. При постоянной э.д.с. этот усреднённый по времени вектор не изменяет амплитуду и направление.

При приложении к проводникам синусоидального э.д.с. усреднённый вектор скоростей будет изменяться по синусоидальному закону. Если в рассматриваемом металлическом проводнике возникнет разрыв, то электроны не смогут двигаться в направлении действия э.д.с. и ток прекратиться. Но если в место разрыва мы включим конденсатор, то ток в цепи не прекратиться, т.к. конденсатор способен на одной пластине накапливать электроны, а затем освобождаться от них, отдавая их во внешнюю цепь.

Рассмотрим действие конденсатора, если к его клеммам подключён идеальный источник синусоидального тока (рис.1.38). Поскольку направление тока в источнике периодически изменяется на противоположное, конденсатор относительно общей шины будет заряжаться то до положительного напряжения, то до отрицательного. Очевидно, что при положительной полуволне синусоидального тока конденсатор от некоего отрицательного напряжения будет перезаряжаться до положительного. Рост положительного напряжения закончится, когда ток уменьшится до нуля. Этот момент будет соответствовать максимуму положительного напряжения, т.е. при синусоидальном токе напряжение будет отставать от тока на 90^о. После этого начнётся период убывания напряжения.

Н етрудно доказать высказанные соображения.

Рис.1.38. Конденсатор, заряжаемый и разряжаемый источником синусоидального тока.

Действительно поскольку , а получаем

. (1)

Из полученного выражения можно сделать вывод: синусоидальный ток, протекающий через конденсатор, вызывает на нём синусоидальное напряжение, отстающее от тока на 90^о (рис.1.39)

Р ис.1.39. Синусоидальные токи и напряжения в конденсаторе.

В теории электрических цепей используют символический метод, при котором вводят комплексный ток İ следующим образом:

. Отсюда с учётом (1) получаем напряжение на конденсаторе: . Поскольку получаем окончательно:

. (2)

Введём понятие комплексного сопротивления конденсатора Z_С. Используя закон Ома для схемы, приведённой на рис.1.38а, применив его к синусоидальным токам и напряжениям, запишем

. (3)

Сравнивая приведённое выражение с (2), можно уставить, что . Эта формула является ключевой при анализе цепей, содержащих источники э.д.с. и тока синусоидальной формы.

В случае, если входной генератор U_Г - источник синусоидального напряжения, схема простейшей интегрирующей RC-цепи будет выглядеть так, как показано на рис.1.40. Для нахождения частотных характеристик цепи воспользуемся символическим методом и определим коэффициент передачи цепи _.

Рис.1.40. Схема простейшей интегрирующей RC-цепи с синусоидальным источником э.д.с.

По второму закону Кирхгофа сумма э.д.с. в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений на участках цепи. Отсюда:

, ,

, (4)

где =RC - постоянная времени RC - цепи.

Из полученного выражения (4) можно получить формулы для расчета амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик.

Для построения АЧХ необходимо найти модуль К(j). Из (4) получаем:

. (5)

Из условия определяем значение верхней граничной частоты _В, при котором модуль коэффициента усиления уменьшается по сравнению с коэффициентом передачи при =0 в раз: и .

На рис.1.41 приведен вид АЧХ интегрирующей RC - цепочки. При построении учитывалось, что .

Р ис.1.41.АЧХ (а) и ФЧХ (б) интегрирующей RC-цепи (рис.1.40).

Для построения ФЧХ умножим числитель и знаменатель передаточной функции (4) на комплексно - сопряженную величину. Получим

. (6)

Из (6) следует: ()=arctg(-)=-arctg(). Вид ФЧХ приведён на рис.1.41б.

Необходимо отметить, что на верхней граничной частоте сдвиг по фазе между выходным сигналом и сигналом генератора составляет 45.

Как уже подчёркивалось, дифференцирующая RC-цепь (рис.1.42) отличается от интегрирующей тем, что выходной сигнал снимается с резистора. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики получаются из выражения для коэффициента передачи; который можно получить аналогично коэффициенту передачи для интегрирующей цепи

,

где τ=RC – постоянная времени дифференцирующей цепи.

Р ис.1.42. Простейшая дифференцирующая RC-цепь с синусоидальным источником сигнала.

Т огда АЧХ (рис.1.43а) определяется из выражения , а ФЧХ (рис.1.43б): . При этом формула для нижней граничной частоты пропускания аналогична формулу для верхней граничной частоты интегрирующей RC - цепи: .

Рис.1.43. АЧХ (а) и ФЧХ (б) дифференцирующей RC-цепи (рис.1.42).

О пыт расчёта простейших интегрирующих и дифференцирующих RC-цепей может быть использован и для расчёта более сложных цепочек. Для примера рассчитаем интегрирующую RC-цепочку, схема которой приведена на рис.1.44а.

Рис.1.44. Схема интегрирующей RC-цепочки (а) и её эквивалентная схема (б).

На рис.1.44б приведена эквивалентная схема цепи, в которой параллельное сопротивление резистора R₂ и конденсатора С заменено на эквивалентное комплексное сопротивление Z₂. Как было показано ранее сопротивление двух параллельно включённых резисторов R′ и R″ равно: . Отсюда для получения Z₂ необходимо заменить R′ на R₂, а R″ на . В результате замены получим . Коэффициент передачи напряжения делителя, состоящего из двух сопротивлений R₁ и R₂, равен . Заменяя R₂ на Z₂, получим

, (7)

где τ=СR₁R₂/(R₁+R₂).

С равнивая выражение коэффициента передачи для простейшей интегрирующей цепи (4) и полученное (7), заметим, что они отличаются лишь коэффициентом передачи на нулевой частоте и постоянной времени. АЧХ и ФЧХ цепи приведены на рис.1.45.

Рис.1.45. АЧХ и ФЧХ цепи, приведённой на рис.1.44.

Аналогично можно получить и комплексный коэффициент передачи интегрирующей RC-цепи, приведённой на рис.1.46.

Р ис.1.46. Схема интегрирующей RC-цепочки с резистором, включённым последовательно с конденсатором.

В этом случае Z₂ определяется последовательным включением резистора R₂ и конденсатора С.

Подставляя в коэффициент передачи резистивного делителя Z₂ вместо R₂,

получаем . (8)

АЧХ и ФЧХ такой интегрирующей RC-цепочки будут отличаться от АЧХ и ФЧХ простейшей интегрирующей RC-цепи. Для построения АЧХ найдём модуль . Чтобы упростить сейчас и при дальнейших расчётах процедуру нахождения модуля комплексного выражения, имеющего вид , убедимся, что . Действительно, умножая знаменатель и числитель выражения для на комплексно-сопряжённую величину знаменателя, получаем:

. Отсюда

, ч.т.д.

Учитывая результаты приведённого доказательства, получаем

.

Полученное выражение позволяет достаточно просто построить АЧХ цепи. Для этого положим, что в первом случае ω→0, а во втором ω→∞. Отсюда , . Верхнюю граничную частоту схемы можно определить из условия . Отсюда . При R₂=R₁(1+ ) верхняя граничная частота становится равной , т.к. коэффициент передачи при = становится равным . При R₂>R₁(1+ ) верхняя граничная частота в схеме будет отсутствовать, т.к. коэффициент передачи будет всегда больше .

АЧХ цепи для случая R₁<R₂(1+ ) приведена на рис.1.47а.

Для нахождения ФЧХ цепи домножим числитель и знаменатель выражения (8) на комплексно-сопряжённую величину знаменателя. Получим

.

Отсюда . (9)

Заметим, что при ω→0, φ→0 и при ω→∞, φ→0. Нетрудно доказать, что φ имеет минимум при , , причём при R₂=R₁: ₀_В, а при R₂<R₁: ₀>_В.

Р ис.1.47. АЧХ а) и ФЧХ б) схемы, приведённой на рис.1.46.

В зависимости от соотношения R₁ и R₂ минимум φ(ω₀) получается разной величины. Например, при R₁=R₂: φ(ω₀) 19^o, при R₁=2R₂: φ(ω₀)30^o, при R₁=3R₂: φ(ω₀)37^o, при R₁=8R₂: φ(ω₀)67^o. Примерный вид ФЧХ приведён на рис.1.47б.

Аналогично можно рассчитывать АЧХ и ФЧХ дифференцирующих цепей. Например, для схемы, приведённой на рис.1.48, получаем коэффициент передачи: . Модуль коэффициента передачи: .

Р ис.1.48. Схема дифференцирующей RC-цепи с дополнительным резистором, включённым последовательно с конденсатором.

Умножив числитель и знаменатель на множитель (R₁+R₂), получим:

. (10)

Сравнивая (8) и (10), заметим, что коэффициент передачи простейшей дифференцирующей цепи и схемы, приведённой на рис.1.48, отличаются лишь наличием множителя и величиной постоянной времени, которая в данном случае равна τ=С(R₁+R₂).

Для схемы, приведённой на рис.1.49, получаем следующий коэффициент передачи: , где , τ₁=СR_1.

Р ис.1.49. Схема дифференцирующей RC-цепочки с резистором, включённым параллельно с конденсатором.

Модуль коэффициента передачи: . Для построения АЧХ учтём, что при ω=0 , а при ω, K()=1. АЧХ цепи приведена на рис.1.50.

Р ис.1.50. АЧХ схемы, приведённой на рис.1.49.

ФЧХ получается аналогично схеме, приведённой на рис.1.45, . Заметим, что при ω=0, φ=0, а при ω, φ=0. ФЧХ имеет максимум при .

(11).

Н етрудно видеть, что выражения (9) и (11) идентичны. ФЧХ для R₁=3R₂ приведена на рис.1.51.

Рис.1.51. ФЧХ схемы, приведённой на рис.1.48, при R₁=3R₂.

Используя приведённую методику, нетрудно вывести формулы коэффициентов передачи более сложных цепей.

Умение получать выражения для коэффициентов передачи RC-цепей в комплексной форме можно использовать для нахождения переходных характеристик. Для этого в выражении для сопротивления ёмкости синусоидальному току необходимо заменить jω на оператор р. При этом получаем операторное выражение для сопротивления ёмкости . Законы Ома и Кирхгофа можно также выразить в операторной форме, заменяя İ на Ι(p) и на U(p). Используя эти замены, можно найти коэффициент передачи RC-цепи также в операторной форме. Сделаем это для простейшей интегрирующей RC-цепочки (рис.1.40). Запишем уравнения: , . Отсюда , где τ=RC.

Для простейшей дифференцирующей RC-цепочки получим: , где τ=RC.

Для нахождения переходных характеристик теперь достаточно от операторной формы К(р) перейти к оригиналу К(t). Таблицы формул оригиналов и их операторных выражений для типовых случаев приводятся в учебниках [ ]. Таким образом, если возникают трудности в построении переходных характеристик RC-цепей, то можно используя операторный метод и таблицы перехода от операторной формы к оригиналам, получить выражения переходных характеристик RC-цепей.