1.2.2.Дифференцирующие rc-цепи.

П ростейшая дифференцирующая RC-цепь образуется из интегрирующей заменой конденсатора на резистор (рис.1.28).

Рис.1.28.Простейшая дифференцирующая RC-цепь.

Н апряжение на выходе цепи будет определяться падением напряжения на резисторе R: U_ВЫХ(t)=U_R(t)=I(t)R. Зависимость I(t) была нами приведена на рис.1.17. Следовательно, напряжение на выходе будет иметь вид, представленный на рис.1.29 (окончание импульса входного напряжения означает отрицательный скачок напряжения).

Рис.1.29.Сигналы на входе и выходе дифференцирующей RC-цепи.

Цепь называется дифференцирующей, поскольку ток через конденсатор можно определить как производную от приложенного напряжения. Действительно, как было показано, , отсюда . Поскольку , . Как и в случае с интегрирующей цепочкой, можно считать, что дифференцирование входного напряжения происходит лишь в первый момент входного импульса.

Изменение напряжения на выходе дифференцирующей RC-цепочки можно определить, зная изменение напряжения на выходе интегрирующей RC-цепи, т.к. и . Действительно, вычитая из U_Г(t) (рис.1.19а) напряжение U_C(t)=U_ВЫХ(t) (рис.1.19в), получаем U_R(t). Таким же образом можно поступить, если нужно рассчитать более сложные дифференцирующие цепи.

Р ассмотрим пример усложнённой дифференцирующей RC-цепи с резистором, включённым параллельно конденсатору (рис.1.30).

Рис.1.30. Дифференцирующая RC-цепь с дополнительным резистором, включенным параллельно конденсатору.

В первый момент подачи прямоугольного импульса напряжение на конденсаторе не может измениться. По этой причине все входное напряжение будет приложено к резистору R₂, т.е. на выходе произойдет скачок напряжения, равный U_Г. При t=∞ и действии положительного скачка напряжения напряжение на резисторе R₂ будет уменьшаться и достигнет уровня . При этом зарядка конденсатора будет происходить с постоянной времени . При воздействии отрицательного скачка напряжения переходной процесс будет происходить аналогично (рис.1.31).

Р ис.1.31. Входной и выходной импульс дифференцирующей RC-цепи с дополнительным резистором, включенным параллельно конденсатору.

1.2.3.RC-цепи с двумя конденсаторами.

Рассмотрим теперь RC-цепи, включающие в себя два конденсатора и один резистор. Пример такой цепи приведён на рис.1.32.

Р ис.1.32.RC-цепь с двумя конденсаторами и одним резистором.

При подаче входного прямоугольного импульса в первый момент напряжения на конденсаторах будут равны 0, а всё входное напряжение будет приложено к резистору R, что вызовет ток I(0)=U_Г/R.

Этим током конденсаторы будут заряжаться. При действии положительного скачка напряжения и t=∞ на конденсаторах установятся такие напряжения, которые создадут на правой пластине конденсатора С₁ такой отрицательный заряд, который будет равен положительному заряду на верхней пластине конденсатора С₂. Нейтрализоваться эти заряды не могут, т.к. приложено внешнее напряжение U_Г. Следовательно, Q_С1=Q_C2. Выразим заряды на конденсаторах через напряжения на них и значения их ёмкостей: C₁U_C1=C₂U_C2. Поскольку U_Г=U_C1+U_C2 (тока при t=∞ через конденсаторы не протекает, поэтому напряжение на резисторе равно 0), получаем: C₁(U_Г-U_C2)=C₂U_C2. Отсюда U_C2=С₁/(C₁+C₂)U_Г.

Постоянную времени заряда конденсаторов можно рассчитать, зная чему равна ёмкость двух последовательно включённых конденсаторов. Эту ёмкость можно определить по тому заряду, который накопится в конденсаторе С₂ при приложении к двум последовательно соединённым конденсаторам напряжения U_Г : Q₂=C₁C₂/(C₁+C₂)U_Г=Q₁. Если приложить напряжение U_Г к некому конденсатору с ёмкостью С_ЭКВ - эквивалентной ёмкости двух после-довательно включённых конденсаторов, то накопленный заряд будет равен: Q_ЭКВ=С_ЭКВU_Г0. Приравнивая Q_ЭКВ=Q₂=Q₁, получаем: С_ЭКВU_Г=С₁С₂/(C₁+C₂)U_Г или С_ЭКВ=С₁С₂/(С₁+С₂).

Т аким образом, зарядка конденсатора будет происходить с постоянной времени . Импульс на выходе рассмотренной RC-цепи приведён на рис.1.33. Как видим, данная цепь с двумя конденсаторами ведет себя как интегрирующая цепочка (сравните рис.1.33 и рис.1.25).

Рис.1.33. Импульс на входе и выходе RC-цепи, представленной на рис.1.32.

Д ругой пример RC-цепи с двумя конденсаторами приведён на рис.1.34.

Рис.1.34.RC-цепь с двумя конденсаторами.

В данном случае при скачках входного напряжения конденсаторы будут заряжаться через внутреннее сопротивление генератора импульсов. Если мы положим, что генератор входного напряжения идеальный, то его внутреннее сопротивление равно 0. Это значит, что скачок входного напряжения вызовет скачок напряжения на выходе, причём, как это было показано выше: . Затем будет происходить перезаряд конденсаторов: конденсатор С₁ зарядится до напряжения U_Г, а конденсатор С₂ разрядится до нуля, т.е. напряжение на выходе при t→∞ будет стремиться к 0. Постоянную времени перезарядки конденсаторов можно определить, учитывая, что левую клемму конденсатора С₁ через нулевое внутреннее сопротивление входного генератора можно считать присоединённой к общей шине, т.е. конденсаторы С₁ и С₂ включены параллельно. При включении конденсаторов параллельно их ёмкости суммируются. Отсюда С_ЭКВ=С₁+С₂. Перезаряд конденсаторов будет происходить через включённый параллельно с ними резистор R, т.е. постоянная времени перезаряда конденсаторов будет равна: τ=(С₁+С₂)R. Входной и выходной импульсы приведены на рис.1.35. Как видим, данная цепь с двумя конденсаторами ведёт себя как дифференцирующая цепочка (сравните рис.1.35 и 1.29).

Рис.1.35. Входной и выходной импульсы цепи, приведённой на рис.1.34.

Р ассмотрим RC-цепь, соединяющую два резистора и два конденсатора (рис.1.36).

Рис.1.36. RC-цепь, содержащая два резистора и два конденсатора.

В момент положительного скачка входного напряжения конденсатор С₂ зарядится до напряжения . В последующее время будет происходить перезаряд конденсаторов с постоянной времени τ=(С₁+С₂)R₁R₂/(R₁+R₂) (конденсаторы и резисторы при перезарядке конденсаторов будут включены параллельно). При t=∞ напряжение на выходе будет стремиться к уровню: (конденсаторы при t=∞ не будут определять падение напряжения на резисторах). В зависимости от того, какое напряжение U_ВЫХ(0) или U_ВЫХ(∞) больше, возможна различная форма выходного импульса. При U_ВЫХ(0)>U_ВЫХ(∞) на выходе будет выходной импульс, форма которого приведена на рис.1.37б. При U_ВЫХ(0)<U_ВЫХ(∞) на выходе будет выходной импульс, форма которого приведена на рис.1.37в. При U_ВЫХ(0)=U_ВЫХ(∞) или и R₁C₁=R₂C₂ форма выходного импульса будет прямоугольной (рис.1.37г). Такой резистивно-ёмкостной делитель называют компенсированным.

Р ис.1.37. Входной и выходные сигналы цепи, приведённой на рис.1.36.