- •Основные опубликованные работы:
- •Электротехника и электроника
- •Часть 1
- •13 Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •13.1 Возникновение переходных процессов
- •13.2 Законы коммутации и начальные условия
- •13.3 Принужденный и свободный режимы
- •13.4 Переходный процесс в цепи r, l
- •13.5 Переходный процесс в цепи r, c
- •Операторный метод анализа переходных процессов в линейных цепях
- •1.1 Преобразование Лапласа и его свойства
- •1.2 Теорема разложения
- •1.3 Расчет переходных процессов операторным методом
Операторный метод анализа переходных процессов в линейных цепях
1.1 Преобразование Лапласа и его свойства
В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:
. (1.1)
При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор , что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.
Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.
, (1.2)
где —функция действительного переменного f, определенная при t≥0 (при t<0; f(t)= 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:
, (1.3)
где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. (1.1) изображена область определения функции комплексного переменного F(p).
Рис. 1.1
Обратное преобразование Лапласа определяют из решения
(1.4)
Функция , определяемая уравнением (1.2), носит название изображения по Лапласу, а функция в (1.4) —оригинала. следовательно, оригинал и изображение представляют собой пары функций действительного f(t) и комплексного F(p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (1.2), (1.4) используют следующую символу:
,
где L — оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия . Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа. Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме
(1.5)
где — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (1.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (1.5) прямое преобразование Лапласа (1.2).
Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: (0_)≠0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию
(1.6)
Для доказательства (1.6) подставим в преобразование (1.2) в виде
Интегрирование оригинала
Дифференцирование изображения:
1.2 Теорема разложения
Для нахождения оригинала по изображению можно воспользоваться либо таблицами, либо использовать обратное преобразование Лапласа (1.4). Однако вычисление оригинала с помощью (1.4) обычно оказывается весьма сложным. Поэтому, для упрощения расчетов применяют теорему разложения, которая позволяет при нахождении оригинала заменить операцию интегрирования (1.4) операцией суммирования, что значительно упрощает выделения.
(1.7)
Формула (1.7) является математической формулировкой теоремы разложения.
Пример. Задано изображение в виде
Обозначим . Найдем корни характеристического уравнения
При этом
Определим производную
Отсюда
№п/п |
О Оригинал |
И Изображение |
1 |
|
|
2 2 |
|
|
3 3 |
|
|
4 4 |
|
|
5 5 |
|
|
6 6 |
|
|
7 7 |
|
|
8 8 |
|
|
9 9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|