1.5. Линейные уравнения
Определение 1.11. ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде
,
(1.5)
где
и
заданные функции,
или в частном случае – постоянные.
Особенность ДУ (1.5): искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Для решения линейного ДУ первого порядка используют метод И.Бернулли.
Метод и.Бернулли
Решение уравнения (1.5) находится в виде
произведения двух других функций, т.е.
с помощью подстановки
,
где
и
неизвестные функции
от
.
Тогда
.
Подставляя выражения
и
в уравнение (1.5), получаем
или
.
(*)
Подбираем функцию
так, чтобы выражение в скобках было
равно нулю, т.е. решается ДУ
.
Это уравнение является уравнением с
разделяющимися переменными, т.е.
.
После интегрирования и преобразований
получаем
.
Ввиду свободного выбора функции
,
можно принять
.
Подставляем найденную функцию в уравнение (*), получаем
.
Получившееся уравнение является также
ДУ с разделяющимися переменными. Решаем
его и находим функцию
:
.
Далее находим функцию по формуле
или
.
Пример 1.7. Решить задачу Коши:
.
Решение. 1) Применим подстановку и . Далее имеем
.
.
2) Полагаем
.
Откуда
.
Интегрируем последнее уравнение,
получаем
,
.
3) Для определения
имеем следующее уравнение
.
Откуда находим
,
,
.
4) Умножая на , получаем общее решение данного уравнения
.
5) Используя начальное условие
,
имеем
.
Следовательно, частное решение исходного уравнения примет вид
.
Замечание. Уравнение вида
,
где
заданные функции,
можно свести к линейному, если
считать функцией, а
аргументом, т.е.
.Тогда,
используя равенство
,
после преобразования, получаем
линейное относительно
уравнение. Его решение находят в виде
,
где
и
неизвестные функции
от
.
Пример 1.8. Найти общее решение ДУ:
.
Решение. Учитывая, что
,
от исходного уравнения переходим к
линейному уравнению
.
Применим подстановку
,
тогда
.
Получаем
или
.
Находим функцию
:
.
Находим функцию :
.
Значит, общее решение данного уравнения:
или
.
1.6. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Определение 1.12. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
,
(1.6)
если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции
,
т.е.
.
В этом случае ДУ (1.6) можно записать в
виде
,
тогда его общий интеграл будет
.
Сформулируем условие в виде теоремы (без доказательства), по которому можно судить о том, что уравнение (1.6) является ДУ в полных дифференциалах.
Теорема 1.2. Для того, чтобы выражение
было полным дифференциалом, где функции
и
и их частные производные
и
непрерывны в некоторой области
плоскости
,
необходимо и достаточно выполнение
условия
.
При решении ДУ вида (1.6) сначала проверяется выполнение условия . Далее функция может быть найдена из системы уравнений
,
.
(1.7)
Интегрируя первое из равенств (1.7) при фиксированном и, учитывая, что произвольная постоянная может зависеть от , имеем
.
(1.8)
Затем из равенства
находим
,
потом
.
Подставляем
в формулу (1.8), получаем общий интеграл
уравнения
.
Уравнение в полных дифференциалах не имеет особых решений.
Пример 1.9. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение. Здесь
,
,
и
.
Следовательно, левая часть уравнения
есть полный дифференциал некоторой
функции
,
т.е.
,
Проинтегрируем
по
:
.
Продифференцируем последнее выражение
по
:
.
Получаем уравнение
.
Откуда находим
.
Таким образом,
.
Окончательно имеем:
общий
интеграл исходного уравнения.
Если уравнение (1.6) не является уравнением
в полных дифференциалах
,
но существует функция
,
такая, что после умножения на нее обеих
частей уравнения получается уравнение
в полных дифференциалах, т.е.
,
то функция называется интегрирующим множителем.
Если найден интегрирующий множитель
,
то интегрирование данного уравнения
сводится к умножению обеих его частей
на
,
и отысканию общего интеграла полученного
уравнения в полных дифференциалах.
Если непрерывно-дифференцируемая функция от и , то
.
Отсюда следует, что интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению с частными производными первого порядка:
.
Если интегрирующий множитель зависит
только от
,
т.е.
,
то
и в этом случае
,
где
.
Если интегрирующий множитель зависит
только от
,
т.е.
,
то
и в этом случае
,
где
.