- •Раздел 10
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия дифференциальных уравнений
- •Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Основные понятия дифференциальных уравнений первого порядка
- •1.3. Ду с разделяющимися переменными
- •1.4. Однородные ду первого порядка
- •1.5. Линейные уравнения
- •Метод и.Бернулли
- •1.6. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия ду высших порядков
- •Ду высших порядков, допускающие понижение порядка
- •I тип: ду вида .
- •II тип: ду вида ,
- •2.4. Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: .
- •II. Корни характеристического уравнения действительны и равны: .
- •III. Корни характеристического уравнения комплексные числа: и .
- •2.5. Интегрирование лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •Алгоритм решения лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Раздел 10
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Основные понятия дифференциальных уравнений
При решении различных задач математики, физики, химии, экономики и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения является функция первообразная для функции .
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Рассмотрим две физические задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям. Но заметим, что при решении задач физического характера, приводящих к дифференциальным уравнениям, основную трудность представляет, как правило, составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет общего метода, и каждая задача требует своего подхода, основанного на знании соответствующего закона физики.
Задача 1 (движение материальной точки).
Материальная точка массы замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени.
Решение. Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т.е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где есть ускорение движущегося тела, результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения
или , где масса тела.
Это же уравнение можно записать так
.
Задача 2 (радиоактивный распад).
Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества , найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества и временем .
Решение. Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества по времени , т.е. . Учитывая условие, получаем следующее дифференциальное уравнение
,
где коэффициент пропорциональности.
Знак минус берется потому, что с возрастанием количество вещества уменьшается, а значит, производная не положительна.
Можно убедиться, что частным решением данного уравнения является функция
.
Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные . ДУ записывается так:
или
.
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных.
Определение 1.2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например, уравнение обыкновенное ДУ первого порядка; уравнение ДУ третьего порядка; ДУ в частных производных первого порядка.
Определение 1.3. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.
Например, для уравнения функции вида , или , где любые постоянные, являются решениями данного уравнения. Например, для уравнения функция вида , где , является решением данного уравнения.