12. Границя числової послідовності. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

Границя числової послідовності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення:

Дійсне число a називається границею числової послідовності , якщо

Позначення: або

При цьому також кажуть, що послідовність збігається до числа a, або має границю a. Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках — розбіжною.

Послідовність {xn}називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатнього числа ε, можна вказати таке натуральне число N, що при n≥N, {} всі елементи {xn} задовільняють нерівність |xn|<ε.

Основні властивості нескінченно малих послідовностей

Сума двох нескінченно малих послідовностей є безкінечно мала послідовність.

Різниця двох нескінченно малих послідовностей є безкінечно мала послідовність.

Добуток двох нескінченно малих послідовностей є безкінечно мала послідовність.

Добуток нескінченно малої послідовності на дійсне число є безкінечно мала послідовність.

Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному числу c, то це число рівне нулю. ( c=0 )

Якщо елементи {xn} безкінечно великої послідовності відмінні від нуля, то послідовність { } є безкінечно малою.

Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого додатнього числа A, знайдеться натуральне число N, що для n≥N, всі елементи будуть задовільняти нерівність

12.Границя функції,чудові границі.

Нехай функція f(x) визначена у всіх точках проміжку (a,b), за винятком, можливо, деякої точки . Побудуємо послідовність значень аргументу функції F(x):

X1, x2, …, xn, , . 1)

таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку (a;b) і послідовність збігалась до точки x0:

.

Тоді значення функції f(x)

. (2)

також утворять деяку числову послідовність.

Говорять, що число A є границею функції f(x) при x, що прямує до x0, якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа x0, послідовність значень функції (2) збігається до числа A, і пишуть

.

Якщо існують границі lim f(x) і lim g(x) тоді :

Перша чудова границя -

Друга чудова границя - .

13. Неперервність функцій, точки розриву, неперервність елементарних функцій.

Функція f(x) називається неперервною е точці хо, якщо

можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона неперервна в даній точці.

Якщо рівність порушується, то говорять, що при x=xо функ­ція f(x) має розрив. Розглянемо функцію у=1/х. Областю визначення цієї функції є множина R, крім х=0. Точка х=0 є граничною точкою множини D(f), оскільки в будь-якому її околі, тобто в будь-якому відк­ритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x₀)₌f(0)не визначене, тому в точці x₀ =0 функція має розрив.

Функція f(x)називається неперервною справа в точці x₀, якщо

і неперервною зліва в точці x₀, якщо

Неперервність функції в точці x₀ рівносильна її неперервності в цій точці одночасно і справа і зліва.

Для того, щоб функція була неперервна в точці x₀, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала скінченна границя , а по-друге, щоб ця границя була рівна . Значить, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція буде мати розрив.

1. Якщо , існують і не дорівнюють , то говорять, що функція в точці x₀ має розрив першого роду або стрибок.

2. Якщо і не дорівнюють , то говорять,що функція в точці x₀ має усувний розрив.

3. Якщо хоча б одне із значень , дорівнює нескінченості або не існує, то говорять, що в точці х₀ функція мас розрив другого роду

Властивості функцій неперервних на відрізку

1.(Перша теорема Вейерштраса). Якщо функція неперервна на відріз ку [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку.

2.(Друга теорема Вейерштраса). Якщо функшя неперервна на відрізку [a,b],то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого значення m та найбільшого значення М.

3.(Теорема Коші). Якшо функція неперервна на відрізку [a,b] значення її на кінцях відрізку мають протилежні знаки, то всередині відрізку знайдеться точка така, що