9. Алгебра матриць. Обернена матриця. Модель Леонтьєва

Означення матриць, типи матриць.

Означення: Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.

Типи матрець:

1. Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрецею.

2. Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця назівається трикутною.

3. Якщо візначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою або невиродженою.

4. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особліва або вироджена.

Дії над матрицями.

Сумою матрець одного порядку і називається матриця C=A+B; будь-який елемент, який дорівнює сумі відповідних елементів матриць A і B: .

Добуток матриці на деяке число a називається така матриця С , кожен елемент якої одержується множенням відповідних елементів матриці A на a,

Суми матрець і добутку матрець виконуються рівності:

1. A+B=B+A; 2. aA=Aa 3. a(A+B)=aA+aB 4. (a+b)A=aA+bA 5. a(bA)=(ab)A

Оберненна матриця.

Матриця називається оберненною матрицею для квадратної, невиродженної А, якщо виконується співвідношення: .

Оберенні матриці існують для квадратних не особливих матриць.

Модель Леонтьєва

Нехай ввесь виробничий сектор складається з n чистих галузей, і відповідно існує різних n продуктів. В процесі виробництва кожна галузь використовує продукцію інших галузей.

• — обсяг продукту i-тої галузі, витраченого j-тою галуззю у виробничому процесі.

• — загальний обсяг продукту i-тої галузі

• — обсяг продукту i-тої галузі що не використовується для виробництва, тобто йде у кінцеве споживання.

• — додана вартість j-тої продукції (прибуток, амортизація, податки, зарплата за наймом тощо)

Щоб побудувати модель, припускаємо, що залежить від обсягу виробництва: .

У найпростішій моделі припускають лінійну залежність між витратами та обсягом виробництва: .

Коефіцієнт називається коефіцієнтом прямих виробничих витрат (технологічним коефіцієнтом) продукції i на виробництво продукції j.

Система рівнянь балансу приймає вигляд:

Позначимо:

— квадратна матриця коефіцієнтів прямих виробничих витрат (технологічна матриця).

Тоді міжгалузевий баланс можна записати матричним рівнянням, яке і є моделлю Леонтьєва:

При використанні єдиної ціни на кожен вид продукції, досягається взаємнооднозначна відповідність між показниками міжгалузевих балансів у натуральному та вартісному вираженні:

10.Функція.

Числовою функцією з областю визначення D називається відповідність, при якої кожному числу x з множини D співставляється за деяким правилом число y, що залежить від x.

Функції звичайно позначають латинськими (а іноді грецькими) буквами. Розглянемо довільну функцію f. Незалежну змінну називають також аргументом функції. Число y, що відповідає числу x, називають значенням функції f у точці x і позначають f(x). Область визначення f функції позначають D(f). Множину, що складається з усіх чисел f(x), таких, що x належить області визначення функції f, називають областю значень функції f і позначають E(f).

Функція - залежність змінної у від змінної x, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення у.

Змінна х - незалежна змінна або аргумент.

Змінна у - залежна змінна

Значення функції - значення у, що відповідає заданому значенню х.

Область визначення функції - усі значення, яких набуває незалежна змінна.

Область значень функції (множина значень) - усі значення, яких набуває функція.

Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(x)=f(-x)

Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x)

Зростаюча функція - якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< х2, виконується нерівність f(х1)<f(х2)

Спадна функція - якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< х2, виконується нерівність f(х1)>f(х2)

Способи завдання функції

Якщо зі зміною однієї величини зміниться й інша, то ми маємо справу з функціональною залежністю, функціональну залежність можна задавати формулами, графіками, таблицями.

• Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у=f(x), де f(x)-вираз, що містить змінну х. У такому випадку говорять, що функція задана формулою або що функція задана аналітично.

• На практиці часто використовується табличний спосіб завдання функції. При цьому способі приводиться таблиця, що вказує значення функції для наявних у таблиці значень аргументу. Прикладами табличного завдання функції є таблиця квадратів, таблиця кубів, таблиця температур.

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданою формулою, вважають множину усіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.