- •Оглавление Введение 4 Программа курса по теории функций комплексной переменной 5
- •Контрольные работы 63 Библиографический список 83
- •Программа курса по теории функций комплексной переменной
- •Глава 1. Методические указания к программе
- •Глава 2. Комплексные числа
- •Примеры
- •Глава 3. Конформные отображения
- •3.1. Дробно-линейная функция
- •Примеры
- •3.2. Показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента
- •Примеры
- •3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем
- •Примеры
- •Примеры
- •3.4. Функция Жуковского
- •Примеры
- •Примеры
- •24. Найти образы области :
- •3.5. Конформные отображения, определяемые комбинациями основных элементарных функций
- •Примеры
- •Глава 4. Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной
- •Примеры
- •4.2. Интегральная теорема Коши
- •Примеры
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •Примеры
- •Глава 5. Степенные ряды
- •5.1. Понятие степенного ряда Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
- •Примеры
- •5.2. Ряд Тейлора
- •Примеры
- •5.3. Ряд Лорана
- •Примеры
- •5.4. Классификация изолированных особых точек однозначного характера аналитической функции
- •Примеры
- •Глава 6. Вычеты
- •6.1. Вычисление вычетов
- •Примеры
- •6.2. Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •Примеры
- •Примеры
- •Примеры
- •Контрольные работы Контрольная работа 1
- •Контрольная работа 2
- •Контрольная работа 3
- •410012, Саратов, Астраханская, 83. Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.
Примеры
41. Определить характер изолированной особой точки для функции :
1) 2) .
Решение: 1)
– устранимая особая точка ;
Решение: 2)
– устранимая особая точка .
42. Найти полюсы функции и определить их кратности:
1) ; 2) .
Решение: 1) запишем функцию в виде
Имеем
.
Точки и – нули знаменателя, причем – нуль третьего порядка, а – простой нуль. Числитель в этих точках в нуль не обращается, поэтому точки и будут соответственно полюсами 3-го и 1-го порядка функции .
Решение: 2) нулями знаменателя будут точки . Разложим знаменатель в ряд:
.
Точка – нуль пятого порядка функции , поэтому – полюс пятого порядка . Точки , – простые нули знаменателя, поэтому они будут простыми полюсами .
43. Определить характер точки для функции .
Решение. Докажем, что не существует. Выберем две последовательности:
.
Для них
Таким образом, .
Значит, – существенно особая точка .
Глава 6. Вычеты
6.1. Вычисление вычетов
Пусть – изолированная особая точка однозначной аналитической в проколотой окрестности точки функции , L – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку и лежащий целиком в окрестности .
Определение 18. Вычетом функции в точке называется интеграл:
. (31)
Вычет функции в точке равен коэффициенту при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности , т.е.
.
Если , то
,
где – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя начало координат и полностью лежащий в окрестности бесконечно удаленной точки, где аналитична, причем означает, что обход осуществляется в отрицательном направлении. Кроме того
.
В зависимости от типа изолированных особых точек приведем формулы для вычисления вычетов .
1. Пусть – устранимая особая точка функции . Тогда
, если ;
, если . (32)
2. Пусть – полюс n-го порядка, , тогда
, (33)
в частности при n = 1
.
Если – простой полюс и , где и – аналитические функции в точке , причем , то
, (34)
если , где аналитична в точке , то
3. Если – существенно особая точка , то, раскладывая в ряд Лорана по степеням , находим , тогда
.
Заметим еще, что, если – четная функция, то
и ,
если – нечетная, то
. (35)
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Если – изолированные конечные особые точки функции , аналитической, кроме этих точек во всей комплексной плоскости, то
. (36)
Примеры
44. Вычислить вычет функции в точке :
1) .
Решение. Точка – простой полюс , так как
.
Поэтому из формулы (48)
.
2) .
Решение. Точка – полюс 1-го порядка, так как знаменатель функции имеет в точке нуль первого порядка, так как:
и .
Представим
, где
причем , из (34) имеем
.
3) .
Решение. Точка – полюс 2-го порядка, так как знаменатель в точке имеет нуль 2-го порядка. Из формулы (33) имеем
4) Подсчитать вычеты во всех особых точках.
Решение. Точки Z, – простые полюсы, из формулы (32) имеем
Z, .
Точка – полюс второго порядка, так как знаменатель в имеет нуль второго порядка. Разложим в ряд Лорана в окрестности :
Выполняя деление рядов
–
,
–
получаем
.
Отсюда: и .
5)
Решение. Так как
,
то – устранимая особая точка. Воспользовавшись формулой (32), найдем
6)
Решение. Точка – существенно особая точка. Разложим функцию в ряд, воспользовавшись формулами (22) и (26):
,
Перемножая два ряда, найдем коэффициенты при первой отрицательной степени :
.