4 Определение и взаимосвязь основных параметров множественной регрессии и корреляции
Цель занятия — изучение методологии построения моделей множественной регрессии и корреляции, вычисления и анализа их показателей, оценки значимости, интерпретации.
Данная тема предполагает детальный анализ и усвоение основных формул, взаимозависимостей между показателями, характеризующими рассматриваемые модели, умение анализировать результаты. Рассчитываются показатели направления и тесноты связи, параметры уравнения множественной регрессии, критерии проверки статистических гипотез о значимости параметров и уравнения в целом.
Задача 1 Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:
(1,80) (0,54) (0,83)
где у – цена объекта, тыс. долл.;
х1 – расстояние до центра города, км;
х2 – полезная площадь объекта, м2;
х3 – число этажей в доме, ед.;
R2 – коэффициент множественной детерминации.
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов множественной регрессии.
Задание:
1 Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b1 в генеральной совокупности равен нулю.
2 Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b2 в генеральной совокупности равен нулю.
3 Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b3 в генеральной совокупности равен нулю.
4 Проверьте гипотезу о том, что коэффициенты регрессии b1, b2, b3 в генеральной совокупности одновременно равны нулю (или что коэффициент детерминации равен нулю).
5 Поясните причины расхождения результатов, полученных в п.1, 2 и 3 с результатами, полученными в п.4.
Задача 2 При изучении влияния стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода по 7 торговым предприятиям были получены следующие данные (Таблица 4.1):
Таблица 4.1 Исходные данные
Номер предприятия |
Валовой доход за год, млн.руб. |
Среднегодовая стоимость, млн.руб. |
|
основных фондов |
оборотных средств |
||
1 |
4,9 |
12 |
10 |
2 |
5,3 |
19 |
14 |
3 |
5,1 |
17 |
10 |
4 |
7,4 |
27 |
11 |
5 |
6,7 |
21 |
6 |
6 |
6,9 |
22 |
7 |
7 |
4,2 |
10 |
12 |
Постройте линейное уравнение множественной регрессии.
Задача 3 В результате исследования факторов, определяющих экономический рост, по 73 странам получено следующее уравнение регрессии:
(-5,90) (4,34) (3,91) (-0,79) (-2,70)
где
темпы экономического роста (темпы роста
среднедушевого ВВП в % к базисному
периоду);
реальный среднедушевой ВВП, %;
бюджетный дефицит, % к ВВП;
объем инвестиций, % к ВВП;
внешний долг, % к ВВП;
уровень инфляции, %.
В скобках указаны фактические значения t – критерия для коэффициентов множественной регрессии.
Задание:
1 Проверьте гипотезу о достоверности полученной модели в целом.
2 До получения результатов этого исследования ваш однокурсник заключил с вами пари, что эмпирические результаты по данной модели докажут наличие обратной связи между темпами экономического роста и объемом внешнего долга страны (% к ВВП). Выиграл ли это пари ваш однокурсник?
Задача 4 По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (млн.руб.) у от количества отработанных за год человеко-часов (тыс. чел.-ч) х1 и среднегодовой стоимости производственного оборудования (млн.руб.) х2:
Таблица 4.2 Исходные данные
Уравнение регрессии |
|
Множественный коэффициент корреляции |
0,900 |
Сумма квадратов отклонений расчетных значений результата от фактических |
3000 |
Задание:
1 Определите коэффициент детерминации в этой модели.
2 Составьте таблицу результатов дисперсионного анализа.
3 Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.
Задача 5 В процессе изучения влияния климатических условий на урожайность зерновых (ц/га) у по 25 территориям страны были отобраны две объясняющие переменные:
х1 – количество осадков в период вегетации (мм);
х2 – средняя температура воздуха (°С).
Матрица парных коэффициентов корреляции этих показателей имеет следующий вид:
|
у |
х1 |
х2 |
у |
1,0 |
|
|
х1 |
0,6 |
1,0 |
|
х2 |
-0,5 |
-0,9 |
1,0 |
Задание:
1 Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных парных и частных коэффициентов корреляции.
2 Исследователь, анализирующий данную зависимость, намерен определить на основе приведенной матрицы, какое уравнение регрессии лучше строить:
а) парную линейную регрессию у от х1;
б) парную линейную регрессию у от х2;
в) множественную линейную регрессию.
Как бы вы ответили на эти вопросы?
3 Постройте уравнение регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.
Задача 6 По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:
|
у |
х1 |
х2 |
х3 |
у |
1,00 |
|
|
|
х1 |
0,30 |
1,00 |
|
|
х2 |
0,60 |
0,10 |
1,00 |
|
х3 |
0,40 |
0,15 |
0,80 |
1,00 |
Задание:
1 Постройте уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделайте выводы.
2 Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).
3 Оцените целесообразность включения переменной х1 в модель после введения в нее переменных х2 и х3.
Задача 7 Имеются следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции (млн.руб.) у от численности занятых на предприятии (чел.) х1 и среднегодовой стоимости основных фондов (млн.руб.) х2 по 20 предприятиям отрасли:
Таблица 4.3 Исходные данные
Коэффициент детерминации |
0,810 |
Множественный коэффициент корреляции |
??? |
Уравнение регрессии |
|
Стандартные ошибки параметров |
2 0,06 ??? |
t – критерий для параметров |
1,5 ??? 5 |
Задание:
1 Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х1 и х2.
2 Восстановите пропущенные характеристики.
3 С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
4 Проанализируйте результаты регрессионного анализа.
Задача 8 По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции (млн.руб.) у от численности занятых на предприятии (чел.) х1 и среднегодовой стоимости основных фондов (млн.руб.) х2:
Таблица 4.4 Исходные данные
Коэффициент детерминации |
??? |
Множественный коэффициент корреляции |
0,850 |
Уравнение регрессии |
|
Стандартные ошибки параметров |
2 0,06 ??? |
t – критерий для параметров |
1,5 ??? 4 |
Задание:
1 Восстановите пропущенные характеристики.
2 С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
3 Проанализируйте результаты регрессионного анализа.
Задача 9 При анализе деятельности 20 фермерских хозяйств выявлена зависимость объема выпуска продукции растениеводства (млн.руб.) у от трех факторов: 1) численности работников (чел.) L; 2) количества минеральных удобрений на 1 га посева (кг) М; 3) количества осадков в период вегетации (г) R. Получены следующие варианты уравнений регрессии и доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с 95%-ой вероятностью (в таблицах):
1-ый вариант:
Таблица 4.5 Доверительные интервалы по 1-ому варианту
Граница |
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе |
|
L |
M |
|
Нижняя |
0,4 |
??? |
Верхняя |
??? |
1,4 |
2-ой вариант:
Таблица 4.6 Доверительные интервалы по 2-ому варианту
Граница |
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе |
||
L |
M |
R |
|
Нижняя |
0,1 |
??? |
??? |
Верхняя |
??? |
2,3 |
1,5 |
Задание:
1 Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.
2 Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.
3 Определите t–критерий Стьюдента для коэффициента регрессии при факторе R по 2-ом уравнении.
Задача 10 По 30 наблюдениям получены следующие данные:
Таблица 4.7 Исходные данные
Уравнение регрессии |
|
Коэффициент детерминации |
0,650 |
|
200 |
|
150 |
|
20 |
|
100 |
Задание:
1 Найдите скорректированный коэффициент корреляции, оцените значимость уравнения регрессии в целом.
2 Определите частные коэффициенты эластичности.
3 Оцените параметр a.