АB=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)

AC=(x2-x0,y2-y0,z2-z0)

AD=(x-x0,y-y0,z-z0)

Помітимо, що , – компланарні.Умовою компланарності є рівність 0 мішаного добутку векторів, тобто

x1-x0 y1-y0 z1-z0

x2-x0 y2-y0 z2-z0 = 0

x-x0 y-y0 z-z0

Розкладемо визначник за елементом 1-го порядку

Одерж. рівняння пл.

Нехай в прост. задається пл. .З початку корд. На пл. опускається перпендикуляр довжина =р. - одиничний вектор, який перпенд. До пл. і з початку координат напрямлений в бік пл. . Нехай - довільна точка в просторі і нехай точка лежать по різні боки від пл.. . .

а де - кути, які утворює з осями координат. Одержимо - це рівняння наз. нормальним рівнянням пл..

д) Основні рівняння прямої у просторі.

Пряма як перетин площин.

Нехай у просторі задана пряма L, яка є перетином двох паралельних пл. . Фіксуємо дві площини що проходять через цю пряму.

- нормаль вектори 1-ї і 2-ї пл. відповідно, які не колінеарні.Візьмемо довільну точку простору Х з кординатами , тоді коли її координати задов. Систему

Ці рівняння наз. Загальним рівнянням прямої .

Е) Векторне рівняння прямої.

Нехай є пряма L. Довільний ненульовий вектор m(a,b,c) що парал. L наз. спрямовуючим вектором цієї прямої. Зафіксуємо т. . - довільна т. в просторі, зрозуміло, що т. М лежить на прямій L, коли вектор

- колінеарні. Це означає, що існує . Ця рівність наз. Векторним рівнянням прямої L.

Ці рівності наз. Параметричними рівняннями прямої L.

Виразимо параметр t і отримаємо:

- це канонічне рівняння прямої.

2. Прийняття рішень в умовах конфлікту. Обережні стратегії.

Основа конфліктів – незбігання інтересів двох або більше сторін. При цьому незбігання інтересів може бути як абсолютним, антагоністичним (виграш однієї сторони досягається за рахунок програшу протилежної), так і не антагоністичним, при якому інтереси сторін не є ні строго протилежними, ні такими, що повністю збігаються. Завдання кожної людини – уміти "розумно" розв'язувати конфлікти, по можливості не вибираючи їх крайніх форм.

Позначимо через вектор без -ї компоненти, тобто (сукупність стратегій усіх гравців за виключенням фіксованого і-го).

Стратегія називається обережною (песимістичною) стратегією і-го гравця, якщо:

.

Величина називається гарантованим результатом (виграшем) і-го гравця.

Ситуація домінує за Парето ситуацію , якщо:

Ситуація називається Парето-оптимальною (оптимальною за

Парето, ефективною), якщо вона не домінується за Парето.

Обережні стратегії гравців , називаються оптимальними, якщо набір гарантованих результатів , що відповідає цим стратегіям, є Парето-оптимальним.

Екзаменаційний білет № 24

24.1 Критерiй сумiсностi системи лiнiйних рiвнянь.

Розглянемо систему n-лінійних рівнянь з n невідомими.

a11: x1+a12 x2+...+a1n xn=b1

a21: x1+a22 x2+...+a2n xn=b2

.................................................

an1: x1+a22 x2+...+ann xn=bn

Система наз. сумісною, якщо вона має принаймні 1 розв’язок. Сумісна система наз. визначенною, якщо вона має єдиний розв’язок.

Позн. через - визначник, склад. з коєф. при невід. і назвемо головним визначником системи.

a11 a12 ... a1n

= a21 a22 ... a2n

.......................

an1 an2 ... ann

Крім головного- введемо ще n допоміжних визначників. 1-й з них 1, отриман заміною 1 стовб. визн.  на стовбчик вільних членів, 2- 2- зам. 2 ст. і т.д.

a11 a12...a1i-1 b1...a1n

i= a21 a22...a2i-1 b2...a2n

....................................

an1 an2...ani-1 bn... ann

Теорема КРАМЕРА(кільк. рівнянь=кільк. невід)

Якщо гол. визн. квадр. системи лін. рівнянь, відм. від 0, то система, визначена і ії єдиний розв’язок дають формули Крамера:

x1=1/, x2=2/,...xn=n/.

24.2Прийняття рішень в умовах конфлікту. Рівновага за Нешем.

Основа конфліктів – незбігання інтересів двох або більше сторін. При цьому незбігання інтересів може бути як абсолютним, антагоністичним (виграш однієї сторони досягається за рахунок програшу протилежної), так і не антагоністичним, при якому інтереси сторін не є ні строго протилежними, ні такими, що повністю збігаються. Завдання кожної людини – уміти "розумно" розв'язувати конфлікти, по можливості не вибираючи їх крайніх форм.

Для гри ситуація називається рівновагою за Нешем, якщо: .

- множина стратегій гравця

- функція виграшу гравця

Із визначення випливає, що дана ситуація є рівновагою Неша, якщо від неї невигідно відхилятись будь-якому од ному гравцеві (всі інші свої стратегії не змінюють), оскільки значення його цільової функції не покращується (залишається таким, як у даній ситуації, або погіршується). Навпаки, дана ситуація не є рівновагою Неша, якщо хоча б одному гравцю вигідно відхилятись від неї (значення його цільової функції хоча б на одній стратегії покращується).

Екзаменаційний білет № 25

25.1Лiнiйна залежнiсть та ранг системи векторiв, методи обчислення рангів.

Будь-яку скінченну послідовність назвемо системою векторів. Вектори в системі можуть повторюватись.

- лінійна комбінація системи векторів з коєф. 1,2...m.

Якщо 1= ... m=0 тоді лінійна комб.=0. Така комбінація тривіальна. Отже лін. комб. нетрівіальна, якщо серед коєфіціентів є принаймі 1 відмін. від 0.

С-ма вект наз лін залежн якщо існує нетрив лін комбін вект що =0. Отже система лін незал за означ якщо тількі трив лін комбін=0. С-ма векторів лін незал якщо з того, що лін комб =0 що вона трив.

Властивості лін зал і лін незал с-м векторів

А)С-ма векторів, яка містить 0-вектор - лін залежна.

Б) Критерій лінійної залежності.

С-ма векторів лін зал тоді і тількі тоді, коли принаймні 1 із векторів цієї с-ми лін вираж через інші.

С) Якщо до лін залеж с-ми дописать якийсь вектор, то с-ма залиш лін залеж.

Д) Якщо з лін незал с-ми викинути якийсь вектор, то с-ма буде лін незал.

Лема: Нехай в просторі маємо дві с-ми векторів та . Всі в-ри 1-ї с-ми лін. вираж. через 2-гу си-му. Тоді якщо , то перша с-ма лін зал..

Інше формулювання: Нех. та дві с-ми в-рів. Всі в-ри 1-ї с-ми лін. вираж. через 2-гу си-му. Якщо перша с-ма лін. незал., то .Лін незал с-ма векторів не може лін. вираж через з меншим числом век-рів.

Далі в пр-рі розглянемо с-му векторів .Ця с-ма векторів наз стандартним базисом.

Властивості:

1.Всі ці в-ри лін незалежні

2.Базис век-рів з лін вираж через в-ри .

Поняття рангу.

Рангом с-ми вер-рів наз мах кількість лін незал в-рів в цій с-мі.

Т1(про ранг) С-ма век-рів має ранг коли в цій с-мі існує лін незал в-рів, через які лін вираж всі інші век-ри с-ми.

Т2(про ранг) Якщо до с-ми в-рів дописати в-р, який лін вираж через в-р с-ми, то ранг с-ми не змінюється. Якщо з с-ми в-рів відкинути в-р, який лін вираж через інші в-ри с-ми, то ранг с-ми не змін.

Т3(про ранг)Елементарні перетворення с-ми в-рів не змінюють її ранг.

Ранг матриці:

Нехай дана матриця А, з дійсними елементами:

Рядки цієї матриці можна вважати як вектори довжини т . Горизонтальним рангом матриці А, або рангом за рядками наз ранг с-ми ве-рів і позначають . Аналогічно стовпчики матриці розглядаються як в-ри довжиною т . Вертикальним рангом матр А або рангом за стовпчиком наз ранг с-ми в-рів і позначаємо .

Мінором -го порядку матр ,де наз визначник побудований на перетині деяких рядків та стовпчиків матриці. Оточуючим для цього мінора наз мінор порядку матриця якого містить матрицю мінора .

Мінор матр А наз базисним, якщо або оточуючих мінорів не існує або .

Т(про базисний мінор) Нехай - базисний мінор матрА. Тоді

1.Рядки матр А на яких буд. цей мінор лін незал

2.Всі інші рядки лін вираж через інші

Т (про ранг матр)Ранг матр горизонтальний, вертикальний та по мінорам співпадають.

Методи обчислення рангів

1.Метод оточення мінорів

Шукаємо базисний мінор. Якщо матр не=0, то ранг матр =0. Якщо ні, то знаходимо деякій не 0 мінор 1-го порядку , фіксуємо його. Знаходимо для нього всі оточуючи. Якщо вони=0, то за озн ранг матр=1, інакше фіксуємо деякий мінор 2-го порядку, що не=0.І так далі. На к-му кроці одержимо мінор к-го порядку, який не =0, для якого всі оточуючи нульові або не існують. Тоді ранг матр А=к,

2.Метод елементарних перетворень

До елементарних перетворень матр. Що не змін рангу матр є:

А)перестановка рядів

Б)домноження рядка на не 0 число

В)додавння до рядка іншого рядка домноженого на число.

Аналогічні перетворення виконуються і із стовпчиком.

25.2 Класифікація задач і процедур системного аналізу.

1. Цільовий аналіз – застосовується з метою виявлення частинних цілей поведінки складної системи для досягнення поставленої перед нею головної мети.

2. Ситуаційний аналіз – використовується для виявлення ситуацій та їхніх характеристик, які визначають основні умови функціонування складної системи.

3. Інформаційний аналіз – застосовується для визначення обсягу, повноти та інших показників інформації про складну систему і середовище (без наявності такої інформації неможливо визначити ступінь досягнення системою заданої мети у наявній ситуації).

4. Структурно-функціональний аналіз - дає змогу визначити необхідний рівень потенційних можливостей функціональних елементів складної системи і ступінь взаємозв’язків і взаємозалежностей її елементів для досягнення заданих цілей функціонування системи в ситуації,що складається апріорі.

5.Організаційно- процедурний аналіз – застосовується у разі необхідності виявити оптимальні способи організації процесів управління та раціонального вибору процедур, що забезпечують досягнення заданих цілей у певній ситуації.

6. Техніко-економічний аналіз – дає змогу визначити ресурси необхідні для досягнення поставленої перед складною системою цілі з урахуванням заданих показників якості (критеріїв).

Вказані процедури доцільно виконувати у такій послідовності:

• цільовий аналіз (визначення цілей функціональних елементів на основі заданих цілей системи)

• інформаційний аналіз (формування основних відомостей про систему, які б забезпечили досягнення заданих цілей)

• структурно-функціональний аналіз (визначення структури і функцій елементів системи, необхідних для досягнення заданих цілей)

• організаційно-процедурний аналіз (організація та реалізація процедур управління за умов зміни зовнішнього середовища)

• техніко-економічний аналіз (визначення ресурсів потрібних для досягнення заданих цілей і забезпечення певних показників якості ).

Взаємозв’язок цих процедур визначається цілями та особливостями функціонування досліджуваної складної системи й особливостями розв’язуваної задачі (задачі проектування системи, оптимізації та експлуатації, прогнозування потенційних можливостей створеної системи в нових позаштатних ситуаціях, задачі технічного діагностування працездатності системи тощо). Залежно від особливостей і постановки задачі взаємозв’язок і послідовність застосування цих процедур можуть змінюватися.

Екзаменаційний білет № 26

1. Лiнiйнi оператори скiнченно-вимiрних просторiв та їх матрицi.

L cкінченно-вимірний лінійний простір , K - поле скалярів.

Оператор A: LL назив лінійним, якщо для будь-якого x, yL, ,K А(x+y)=А(x)+ A(y).

Теорема. L- скінчено вимірний простір dimL=n, Б-базис , Б=(a₁,..., a_n) , b₁,...,b_n- деяка довільна система векторів, тоді існує єдиний лінійний оператор A: LL: А(a₁)= b₁ ,..., А(a_n)= b_n

Доведення: Побудуємо такий оператор : візьмемо x з L , x=₁ a₁ +...+_n a_n. переконаємося, що А(x)=₁ b₁ +...+_n b_n таке відображення лінійне. Візьмемо ,K, тоді x+y=(₁+₁)a₁+...+(_n+_n)a_n, A(x+y)=(₁+₁)b₁+...+(_n+_n)b_n=(₁b₁+...+_nb_n)+(₁b₁+...+_nb_n)=A(x)+A(y)  оператор лінійний. Припустимо, що крім оператора А ми побудували В(a₁) = b₁ ,..., B(a_n)= b_n. Покажемо, що для всякого x з L A(x)=B(x), x=₁ a₁ +...+_n a_n за базисом. Подіємо B(₁ a₁ +...+_n a_n)= ₁B(a₁)+...+ _nB(a_n)= ₁A(a₁)+...+ _nA(a_n)=A(₁ a₁ +...+_n a_n)=A(x).

Візьмемо A: LL, Б=(a₁,..., a_n). Подіємо на вектори базису A, одержимо A(a₁)=₁₁ a₁ +...+_n1 a_n; A(a₂)=₁₂ a₁ +...+_n2 a_n;...; A(a_n)=_1n a₁ +...+_nn a_n.Коефіцієнти запишемо . A - матриця лінійного оператора A у вибраному базисі. За теоремою ця матриця однозначно визначається.

Теорема про обернений оператор: A: LL має обернений оператор  коли його матриця в  базисі невироджена.

Доведення: Припустимо, що А має А^-1,

Якщо , то A^-1 в цьому ж базисі відповідає A^-1.

Навпаки, припустимо, що в деякому Б матриця невироджена: det0, тоді А має А^-1. Розглянемо

2. Поняття складності системної задачі, спектри складності, трансобчислювальна складність.

Як зазначав Дж.Клір – складність багатогранна і з неї випливає низка означень. Цю думку підтвердив і Р.Ешбі.

Складність – це загальна властивість єдиної множини різних об’єктів, які структурно взаємопов’язані, функціонально взаємозалежні й взаємодіють між собою, за наявних параметрів і характеристик навколишнього середовища за присутності неконтрольованих зовнішніх впливів, факторів ризику та інших умов, характерних для системних задач. Відповідно до підходу Дж.Кліра, будемо розрізняти поняття складності і важкості. Багато задач є важкими, але простими, вони мають єдину або скінчену множину розв’язків. Складна проблема зазвичай має багато можливих рішень, які відповідають різним цілям.

Поняття трансобчислювальної складності.

Під час розв’язування системних задач складність розуміють і як властивість досліджуваних систем, і як властивість розв’язуваних системних задач. Будемо називати ці два види складності відповідно складністю систем і складністю задач. Проблеми пов’язані зі складністю задач прийнято називати обчислювальною складністю. Ганс Бреммерман постулює таке твердження: «Немає системи обробки даних, штучної або природної, котра могла б обробляти більше ніж бітів за секунду на грам своєї маси ». Тут під «обробкою N бітів» розуміють пересилання N бітів одним або декількома каналами обчислювальної системи. Використовуючи отриману межу для обробки інформації грамом маси за одну секунду процесорного часу, Бреммерман потім обчислив кількість бітів, яку б могла обробити гіпотетична комп’ютерна система, що має масу, рівну масі Землі за період, рівний її віку. З урахуванням того, що масу Землі оцінюють приблизно як грамів, а її вік – як років, причому рік складається десь із секунд, можна зробити висново, що цей уявний комп’ютер зміг би обробити біля бітів інформації ( ). Це число зазвичай називають межею Бреммермана, а задачі, які потребують обробки понад бітів інформації – трансобчислювальними.

Розвя’зування багатьох задач навіть для нескладних систем потребує інформації, обсяг якої дещо перевищує зазначений. Як приклад розглянемо систему з n змінних, кожна з яких має k різних станів. Зрозуміло, що ця система має станів. Множина узагальнених станів конкретної системи є підмножиною цієї множини. Усього таких підмножин . Припустимо, що нам потрібно відібрати, виділити або класифікувати систему з множини всіх систем цього типу. Тоді, за умови, що буде використано найефективніший метод пошуку, згідно з яким кожен біт інформації дає змогу розбити залишок множини варіантів навпіл, необхідно обробити , бітів інформації. Задача є трансобчислювальною, якщо . Це можливо, зокрема, при таких наближених значеннях та :

= 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;

= 308; 194; 154; 133; 119; 110; 102; 97; 93;

Із проблемою транс обчислювальної складності доводиться стикатися досить часто під час розв’язування задач, що потребують розпізнавання образів. Подібна проблема виникає у такій сфері, як тестування великих інтегральних мікросхем – складних електронних схем із великою кількістю входів та виходів.

Щоб розв’язати задачу, що належить до задач трансобчислювальної складності, її необхідно спочатку переформулювати. Найпростіший спосіб такого переформулювання полягає в ослаблені умов. Це дозволяє застосовувати як евристичні методи, що дають змогу відкидати багато безперспективних варіантів, так і наближені (нечіткі), що дозволяють розв’язувати ці задачі з урахуванням сукупності варіантів.

Оцінка алгоритмічної розв’язності системної задачі.

Якщо алгоритм розв’язування задачі обрано, необхідний для цього час зручно зображати змінною, залежною від розмірності складних систем. Нехай – розмірність конкретної системи для деякого варіанта задачі. Тоді час виконання алгоритму розв’язування цієї задачі визначається за формулою

де – найбільша кількість часу, необхідного для виконання алгоритму обраного варіанту задачі, розмірність якої дорівнює . Функція називається часовою функцією складності.

Вважається, що можна виділити два класи алгоритмів, які різняться швидкістю зростання часових функцій складності. До 1-го класу належать алгоритми з поліноміальними часовими функціями складності. Функція f має складність , де – додатне ціле число (натуральне), тоді і тільки тоді, коли існує константа c>0, така, що

для всіх , де – найменша розмірність розглянутої задачі.

До другого класу належать алгоритми, часові функції складності яких перевищують при кожному . Їх називають експоненціально-часовими алгоритмами. Поліноміально-часові алгоритми суттєво краще «реагують» на збільшення потужності обчислювальних засобів.

Задачі, до яких не можна застосувати поліноміально-часові алгоритми, вважаються такими, що не підлягають розв’язанню, а задачі, для яких поліноміальні алгоритми існують, належать до класу задач, які підлягають розв’язанню. Останні називаються P-задачами, тобто задачами, розв’язуваними за поліноміальний час. Для більшості практичних задач невідомо чи існує поліноміально-часовий алгоритм їхнього розв’язання, і не доведено, що вони не підлягають розв’язанню. Спільним для них є те, що вони можуть бути розв’язані за поліноміальний час на недермінованих комп’ютерах, наприклад, на машинах Тюрінга. Такі задачі називають NP-задачами (недетермінованими поліноміально-часовими задачами).

Принципи подолання трансобчислювальної складності системних задач.

Розглянемо деякі прийоми подолання трансобчислювальної складності задач СА, виділивши три напрями:

• раціональне формулювання задачі;

• раціональна організація обчислювального процесу для розв’язування задачі;

• раціональний вибір обчислювальних засобів.

Екзаменаційний білет № 27

27.1Власнi вектори та власнi числа лiнiйних операторiв.

Розглянемо скінчено вимірний лінійний пр-р L над полем К. А :LL - лін. оп-р, якому відповідає квадратна матриця порядку n з дійсними елементами А=(а_ij); t - незалежна змінна. Тоді матриця А-tЕ, де Е- одинична матриця порядку n, наз. характеристичною матрицею матриці А. Визначник матриці А-tЕ буде многочленом від t степеня n: |А-tE|=A(t) - характеристичний многочлен матриці А, а його корні — характеристичні корні цієї матриці. Подібні матриці мають однакові хар. многочлени. а отже і однакові хар. корені.

Хоча лін. перетворення А може задаватися в різних базисах подібними матрицями , однак всі ці матриці мають один і той же набір хар. коренів.

Характеристичні многочлени двох спряжених матр співпадають.

Нехай B=T^-1AT , тоді

B(t)=|B-tE|=|T^-1AT- T^-1(tE)T|=|T^-1(A-tE)T|=|T^-1||A-tE||T|=A(t)

Цей хар. многочлен можна наз. хар. мн-ном самого оп-ра А. Припустимо, що для А  F(основного поля), та вектор b0, bL: А(b)=b. Тоді b - власний вектор оп-ра А, а - власне число. А(b)=b виконується  А(b)-b=  (A-)b=  b Ker(A-), де - одиничний оператор. Це показує, що множина усіх -власних векторів разом з нулем утворюють підпростір пр-ру L. Цей підпростір наз. підпр-ром -власних векторів і познач-ся .

F - власне число оп-ра А  Ker(A-):

Складемо систему лін. рівнянь для обчислення ядра оп-ра (А-):

(a₁₁ -)x₁+ . . . +a_1nx_n=0

 . . .

a_n1x₁+ . . . +(a_nn -)x_n=0

Визначник цієї системи () - хар. многочлен оп-ра А . Отже

1. Число - власне число лін. оп-ра А   є коренем хар. Многочлена цього оп-ра і належить основному полю F . Власних чисел не може бути більше , ніж вимірність поля F.

2. Після того, як знайшли власні числа, можна визначити підпростір -власних векторів. Фіксуємо власні числа  і обчислюємо базисну систему розв’язків цієї системи лін. однорідних рівнянь. Знайдені вектори утворюють базис підпростору .

Алгоритм знаходження власних векторів та власних чисел.

Маємо - -вимірний простір над полем і .Зафіксуємо якийсь базис пр. Б і побудуємо в базисі Б. Складемо хар. матр.

. Обчислимо її визначник

.Знайдемо всі корені хар. многочлена, що належать основному полю .Ці корені є власними числами лін. оператора . Для кожного кореня або власного числа складаємо сист. лін. однорідних рівнянь

Знаходимо базисну сист. розв. – це є базис підпр. власних векторів.

27.2 Розкриття невизначеностей у задачах системного аналізу.

Для класу формалізованих задач СА важливою проблемою є розкриття невизначеностей. Зазначимо, що невизначеність – типова властивість задач СА. Це зумовлено різноманітністю цілей, властивостей і особливостей об’єктів СА. Прикладні задачі, які не містять невизначеностей, є скоріше винятком, ніж правилом.

Будь-яке знання завжди є відносно неповним і неточним. Це безпосередньо випливає з теореми Геделя про неповноту та еволюцію розвитку людського пізнання. Найпоширенішими на практиці є невизначеності цілей, ситуацій, конфліктів:

• невизначеність цілей – це невизначеність вибору і досягнення цілей у багатокритеріальних задачах прийняття рішень;

• невизначеність знань про можливі ситуації – це невизначеність впливу неконтрольованих факторів на процеси практичної діяльності (ситуаційна невизначеність);

• невизначеність конфліктів – це невизначеність вибору цілей задумів і планів у процесі взаємодії партнерів або протидії конкурентів чи супротивників (інформаційна невизначеність конфліктів).

Задачі та методи розкриття невизначеності цілей

У загальному випадку під час дослідження об’єкта в цілому виникає потреба в узгоджені його цілей. При цьому для одних цілей оптимальні розв’язки відповідають мінімальному значенню критерію, а для інших – максимальному. Але деякою заміною змінних ці задачі легко звести до єдиного типу критеріїв й одного типу задач оптимізації.

Їх можна розглядати як задачу багатокритеріальної оптимізації:

(1)

Екстремуму кожна функція в (1) досягає для свого значення , і майже неможливо знайти таке значення , за якого умови (1) виконуються одночасно для всіх цільових функцій. Звідси випливає, що задача зводиться до знаходження такого значення , за якого забезпечуватиметься раціональний компроміс заданих цілей. Для знаходження раціонального компромісу застосовують два основні підходи. Суть першого підходу – виключити з аналізу заздалегідь неприйнятні варіанти розв’язків. Суть другого – використати прийоми і методи зведення багатоцільової задачі до типової задачі оптимізації з одним критерієм та розв’язати її.

Розкриття невизначеностей цілей на підставі принципу Парето.

Припустимо, що вибраний деякий вектор Робимо тепер інший вибір , такий, що

(2)

Причому хоча б одна з нерівностей є строгою. Очевидно, що вибір переважає вибір , тому всі вектори , для яких виконується умова (2), слід виключити з цього аналізу.

Піддавати неформальному аналізу, зіставляти між собою треба ті вектори , для яких не існує такого значення , що для всіх критеріїв задовольнятимуться нерівності (2). Множину всіх таких значень , називають множиною Парето , а вектор - неполіпшуваним вектором результатів (вектором Парето).

Приклад:

,

Область - множина Парето.

На цьому простому прикладі бачимо, що принцип Парето не дає змогу виділити єдиний розв’язок. Він дозволяє лише звузити множину можливих розв’язків (альтернатив). Раціональний компроміс у багатоцільовій задачі лежить серед , що належать множині Парето. ОПР на підставі аналізу множини Парето може оцінити, як збільшення однієї цільової функції позначається на інших і таким чином вибирати раціональний компроміс.

Метод лінійної згортки

Суть цього методу полягає в тому, що замість заданих цілей вводять одну узагальнену ціль

(3)

де - коефіцієнти важливості початкових цілей, що визначають міру переваги ОПР. Здебільшого коефіцієнти нормовані тим чи іншим способом. Зазвичай використовують нормування у формі

(4)

Зазначимо, що для додатньо визначених функцій замість адитивної функції (3) можна використовувати мультиплікативну функцію вигляду

(5)

Прологарифмувавши ліву і праву частини рівності (5) і ввівши позначення

Одержуємо вираз адитивного типу

Унаслідок згортки (3) або (5) задачу розкриття невизначеності цілей, подану у вигляді багатоцільової задачі оптимізації, , зводимо до одноцільової стандартної задачі математичного програмування за наявності обмежень, зумовлених початковими даними або технічним завданням.

Недоліки методу лінійної згортки:

• вибір коефіцієнтів в значній мірі суб’єктивний;

• розв’язання оптимізаційної задачі для не означає, що досягнуто раціональних значень для всіх заданих цілей.

Метод технічних обмежень

У задачах проектування і планування часто задають певні нормативні обмеження зверху (загальна вартість, допустимі габарити, вага тощо) або обмеження знизу деяких технічних характеристик і показників (наприклад , показників надійності, міцності, довговічності тощо). Нехай задано обмеження:

(6)

Для спрощення переходять до одного типу обмежень – обмежень зверху або обмежень знизу:

або

Надалі припускаємо, що апріорно (наприклад, у ТЗ) введено на цільові функції обмеження вигляду

або

За цих обмежень потрібно забезпечити

Можливі такі два варіанти розкриття невизначеності цілей:

Варіант 1. Введемо функцію

і будемо шукати такі значення що відповідають умові

Тут - допустима багатовимірна область зміни вектора , задана, наприклад, за допомогою конструктивних або технологічних обмежень. За такого формулювання задачі гарантовано, що у найгіршому випадку, який відповідає буде забезпечено максимальне значення Така задача забезпечення є максимінною задачею оптимізації.

Варіант 2. Введемо функцію

і будемо шукати такі значення за яких функція матиме мінімальне значення

За такого формулювання задачі гарантовано, що її розв’язок у найгіршому випадку, який відповідає максимальному можливому відхиленню забезпечить мінімальне значення

Ця задача забезпечення є мінімаксною задачею оптимізації.

Відмінність варіантів 1 і 2 полягає в тому, що вони стосуються різних умов оптимальності. Варіант 1 забезпечує максимально можливе відхилення серед усіх від їхніх заданих значень оскільки воно забезпечене для найгіршого випадку, що характеризується співвідношенням

Варіант 2 є оберненою задачею – задачею забезпечення мінімально можливого відхилення всіх від заданих значень Такого відхилення досягають для найгіршого випадку за умови

Розкриття ситуаційної невизначеності

Насамперед введемо поняття двох типів невизначеностей: ситуаційної та природної.

Ситуаційна невизначеність характеризується непередбачуваним впливом неконтрольованих факторів різного походження (діяльністю людини, стихійними лихами, впливами ноосфери тощо), які зумовлюють непередбачену поведінку досліджуваної системи.

Природна невизначеність виникає внаслідок випадкового впливу важко прогнозованих і важко контрольованих факторів природи (опадів, повеней, посух тощо).

Розглянемо задачу розкриття ситуаційної невизначеності на прикладі певної прикладної задачі. Припустимо, що потрібно прокласти авіаційний маршрут від Києва до Парижа, який має бути раціональним щодо часу польоту; відповідати міжнародним коридорам польотів; забезпечувати прийнятну витрату пального; створювати необхідні умови для пасажирів та екіпажу; відповідати міжнародним, європейським, регіональним і національним вимогам та умовам. Очевидно, що розв’язання цієї задачі потребує системного аналізу різних факторів та умов для визначення необхідності вибору раціональних варіантів дій на різних стадіях розробки, реалізації, експлуатації маршруту. Розглянемо тільки один із факторів, що суттєво впливає на різні аспекти реалізації на практиці маршруту. Таким фактором є час польоту. Очевидно, він залежить від багатьох апріорі відомих факторів, зокрема від льотно-технічних показників літака, стану і можливостей аеродромів тощо. Вважаємо, що всі ці фактори характеризуються відомим вектором . Є також фактори, вплив яких апріорі невідомий або які можуть змінюватися в процесі польоту. До них, зокрема, належать метеоумови на трасі польоту, у районах аеродромів зльоту і посадки тощо. Такі фактори характеризуватимемо узагальненим параметром невизначеності

Беручи до уваги, що загальний час польоту лімітований, хоча час зльоту і посадки має певні допуски, дії екіпажу повинні бути спрямовані на мінімізацію різниці між заданим часом і допустимим часом тривалості польоту в реальних умовах ситуаційної невизначеності. Цю різницю визначає співвідношення:

Мета дій екіпажу в польоті полягає у прийнятті рішення про вибір такої швидкості, яка за реальних метеоумов за час польоту забезпечить прибуття до місця призначення. При цьому відхилення часу від заданого значення має задовольняти умову

Для виконання цієї умови потрібно забезпечити

(6)

де - показник результативності дій екіпажу у процесі польоту за впливу факторів невизначеності, який визначає значення вектора у разі виконання умови (6).

Вектор залежить від факторів невизначеності і тому є функцією узагальненого показника :

Значення узагальненого показника ситуаційної невизначеності на момент прийняття рішення визначає величина де - деяка множина типових ситуаційних невизначеностей, зокрема типових метеоумов у різні пори року, поблизу розглянутого маршруту польоту. Найважливіша особливість таких ситуаційних невизначеностей – висока динамічність і, як наслідок, складність якісної зміни ситуації на маршруті протягом обмеженого часу. Тому в реальних ситуаціях інформації про показник у вигляді відомостей зазвичай недостатньо для прийняття однозначного рішення на тривалий період. У підсумку виникає потреба його корегування у процесі реалізації. Отже , розкриття ситуаційної невизначеності в цій задачі реалізують як вибір дій , якщо цільова функція відома, але містить узагальнений параметр невизначеності , що може суттєво змінюватися у часі.

Для розв’язування початкової задачі можна використати підхід, який дозволяє одержати досить обґрунтовану, хоча й однобічну оцінку. Такий підхід базується на принципі гарантованого результату. Розглянемо його суть, вважаючи, що фактори ситуаційної невизначеності погіршують умови польоту.

Нехай для кожного виконується умова

А для будь-якого

(8)

де - гарантована оцінка, а відповідне значення - гарантована стратегія в тому сенсі, що яке б не було значення параметра невизначеності , вибір відповідно до формули (8) гарантує, що для кожного значення цільової функції не буде меншим за

Для одержання гарантованої стратегії потрібно розв’язати такі оптимізаційні задачі.

1. Обчислити для будь-якого значення у результаті чого одержимо:

2. Обчислити у результаті чого визначимо:

Отже, вибір гарантованої стратегії – це раціональний спосіб прийняття рішення. У результаті використання цієї стратегії маємо такий гарантований результат: за будь-яких неконтрольованих факторів забезпечене значення цільової функції не менше ніж Використання принципу гарантованого результату вигляду (8) дозволяє знайти найкращий розв’язок для найгіршого випадку.

3. Розкриття невизначеності в задачах взаємодії

До цього виду невизначеності приводять стратегії, у яких взаємодіють два або більше партнерів у певній сфері діяльності чи протидіють конкуренти й супротивники. Прикладами таких задач є:

• задачі виробничого планування й прогнозування діяльності фірм з урахуванням дії партнерів або протидії конкурентів;

• задачі національної безпеки за умов конфлікту різних цілей та інтересів;

• задачі планування заходів і дій щодо запобігання нелегальній міграції;

• задачі забезпечення військової та економічної безпеки тощо.

Екзаменаційний білет № 28

28.1Лiнiйнi оператори простої структури.

L-лін. пр-р над полем F; dim L  n.

О. A:LL- оператор простої структури (ОПС), якщо L можна представити у вигляді простої суми одновимірних пр-рів інваріантних відносно А:

LL₁L_n .

Т. Для оператора А слідуючі 3 умови рівносильні :

1. А- ОПС ;

2.  базис Б пр-ру, що скл-ся з власних векторів;

3. в деякому базисі матриця оп-ра - діагональна.

Д.

(1)(2)

А- ОПС. Розглянемо розклад пр-ру L в пряму суму одновимірних підпр-рів

а₁L₁a_nL_n ; ₁a₁_na_n

О. Cума є прямою, якщо  вектор хR можна однозначно записати у вигляді хх₁х_n, x_iL_i.

Так як а₁а_n- базис пр-ру L, то  вектор х однозначно записується

х₁а₁_na_n.

Аа_iL_i так як L_i - інваріантний; з іншого боку Аа_i_ia_i  a_i - власний вектор з власним числом _i.

(2)(3)

Фіксуємо базис пр-ру L, що скл-ся з власних векторів оп-ра А:

A_Б (*)

А(а₁)=₁а₁ А(а_n)=_nа_n

(3)(1)

Припустимо, що в деякому базисі Б:а₁а_n лін. оп-ру А відповідає діагональна матриця (*), тоді з визначення матриці оп-ра випливають співвідношення

Aa₁₁a₁Aa_n_na_n  ці вектори власні.

LL₁L_n, L_ia_i

Підпростір L_i інваріантний відносно оп-ра А

Ba_i ABAa_iAa_i_ia_iLi.

Л. Нехай а₁ ... a_k власні вектори лінійного оп-ра А, що відповідаютьрізним власним значенням, тоді ці вектори лін. незал.

Д. Індукцією по числу к.

Нехай к1 А(а₁)₁а₁, система з одного ненульового вектора є лін. незал.

Припустимо, що ми довели лему, коли число векторів  к і розглянемо систему к1 векторів з різними власними значеннями. Припустимо, що деяка лін. комбінація цих векторів .

₁а₁_ка_к+_к+1а_к+1 

Подіємо на це співвідношення лін. оп-ром А:

А₁а₁_к+1а_к+1 

₁₁а₁_к+1_к+1а_к+1

Помножимо перше співвідношення на _к+1 і віднімемо від другого

₁₁_к+1а₁_к_к_к+1а_к .

За припущенням незалежні вектори а₁а_к

₁₁_к+10_к_к_к+10  ₁_к0  _к+1а_к+1 

власний вектор за визначенням 0  _к+10.

Т. (достатня умова лін. ОПС)

Нехай А:LL dimLn, якщо характ. мн-н лін. оп-ра А має n різних коренів, то А- ОПС.

Д.

₁_n різні корені хар-го мн-на оп-ра А.

Ми знаємо, що  з цих коренів є власним числом оп-ра А. Виберемо відповідний власний вектор а₁а_n. За лемою ці вектори лін. незал.

 утворюють базис пр-ру L  знайшли базис пр-ру L, що скл-ся з власних векторів  А- ОПС.

Позначимо через V₁V_k відповідні підпр-ри власних векторів.

Л. Сума підпросторів є прямою

V₁V_kV₁V_k

V₁V₂V_k

Критерій лін. ОПС

А:LL dimLn є ОПС  коли

1) характ. мн-н розкладається на лін. мн-ни

₁_k -різні

2) LV₁V_k

Алгоритм ОПС:

1. Знаходимо матрицю оп-ра А в певному базисі Б.

2. Підраховуємо по матриці характеристичний мн-н (t).

3. Знаходимо всі корені хар. мн-на.

4. ₁_k- різні корені.

5. Для кожного ik знаходимо базисну систему коренів, m_і - кількість коренів. (A-_iE)0

6. Якщо m₁+...+m_kn, то А-ОПС, якщо n, то - ні.

28.2 Інформаційний аналіз системних задач.

Аналіз кількісних та якісних характеристик інформації

Спочатку сформулюємо основні цілі й задачі інформаційного аналізу як одного з важливих інструментів формалізації та розв’язування системних задач. Цілі зводяться до забезпечення необхідного і технологічно можливого рівня інформаційного забезпечення достовірності та обґрунтованості прикладних системних задач. Задачі інформаційного аналізу полягають у створенні методологічного і математичного інструментарію для досягнення поставлених цілей. Щодо терміну «інформація» слід уточнити, що в теорії інформації подано математично обґрунтоване визначення кількості інформації, але до тепер немає однозначного визначення самої інформації. Згуровський – Панкратова вводять таке означення поняття «інформація».

«Інформація» - це упорядкована послідовність змістовно взаємно узгоджених і структурно взаємопов’язаних слів, малюнків, діаграм, таблиць і (або) інших засобів письмового, усного, наочного, технічного відображення станів, дій, розміщень та інших властивостей і (або) процесів досліджуваного об’єкта будь-якої природи.

Початком формування теорії інформації прийнято вважати праці К.Шенона. Означення , обґрунтоване К. Шеноном на підставі поняття «ентропії», описує математична формула

(1)

Формула (1) визначає ентропію повної групи подій або випадкових станів. Тут враховано, що за змістом ентропія є оберненою величиною до кількості інформації. Величина - міра невизначеності множини, що складається з випадкових подій з ймовірностями Із випливає, що із множини подій відбудеться тільки одна. Така умова виконується у разі послідовної передачі повідомлення по літерах. Пізніше А.М. Колмогоровим запропоновані ідеї визначення кількості інформації, на підставі яких розроблено комбінаторний та алгоритмічний підходи. Такі підходи, по-перше, забезпечили логічну незалежність властивостей інформації від імовірнісних припущень. По-друге, виникла можливість визначати кількість інформації, що є характеристикою індивідуального об’єкта, реалізованого у вигляді окремого слова або неперервного повідомлення у вигляді діаграми.

Наведемо суттєві якісні властивості інформації,що принципово важливі для розв’язування задач СА. Зокрема, для оцінки ступеню і рівня ризику в штатних, позаштатних і критичних ситуаціях:

невизначеність – властивість, що відображає наявність декількох альтернативних описів ситуації

неточність – властивість, що свідчить про наявність певного інтервалу допусків або похибки вимірів чи розрахунків у кількісних параметрах і (або) якісних характеристик опису ситуації;

неповнота – властивість, яка відображає наявність інформаційних прогалин в описі ситуації (щось пропущене, описане недостатньо тощо);

нечіткість – властивість, що характеризує розпливчастість опису ситуації, коли неможливо точно визначити наявність або відсутність певної властивості чи її точну кількісну характеристику;

несвоєчасність – властивість, що характеризує співвідношення в часі між моментом настання якоїсь події і моментом одержання інформації про неї (тобто якщо ОПР не має достатньо часу для формування і прийняття рішення на підставі отриманої інформації, то вона несвоєчасна );

недостовірність – властивість, що відображає наявність кількісних даних або якісних характеристик, що не відповідають реальному стану ситуації;

суперечливість – властивість, яка свідчить про наявність кількісних або якісних характеристик, що мають значення або зміст, який суперечить іншим даним.

Наведені означення потрібно враховувати під час формування показників інформованості ОПР.

Формалізація характеристик і показників інформованості ОПР

Очевидно, що для ОПР важливо, щоб одержувана інформація мала мінімум зазначених властивостей. Тому як початкові поняття для визначення інформованості ОПР візьмемо властивості інформації , протилежні за значенням наведеним вище. Найважливішими з них із погляду ОПР є повнота, достовірність і своєчасність інформованості ОПР.

Повнота інформованості – властивість, що характеризує відповідність кількості одержуваної ОПР інформації тій, котра потрібна для прийняття рішення.

Своєчасність інформованості – властивість, що визначає наскільки ресурс часу ОПР на формування і прийняття рішення відповідає ресурсу часу від моменту одержання інформації до моменту реалізації рішення.

Достовірність інформації – властивість, що характеризує відповідність одержаної ОПР інформації реальному стану наявної ситуації.

Кількісно повноту інформованості будемо характеризувати показником повноти інформованості :

де - відповідно максимально доцільний і мінімально допустимий обсяг інформації, потрібний для прийняття рішення у певних умовах;

Екзаменаційний білет № 29

29.1Лiнiйнi оператори дiйсних евклiдових просторiв.

Озн евклідового простору.

L,, x,y  L (x,y) , що називається їх скалярним добутком, при цьому

1)(x,y)=(y,x)

2)(x,y+z)=(x,y)+(x,z)

3)(x,y)= (x,y)

4)(x,x)0, (x,x)=0x=0, тоді простір L з заданим скалярним добутком є евклідовим простором.

Є два основні типи операторів у евклідових просторах: самоспряжені і ортогональні.

А:L L, А^* називають спряженим до оператора А, якщо для довільних x,yL.(A(x),y)=(x,A(y)). Оператор А самоспряжений, якщо А=А^*.А- самоспряжений, якщо в деякому ортонормованому базисі йому відповідає симетрична матриця.

Теорема про будову спряженого оператора:

Для довільного самоспряженого оператора можна вибрати ортонормований базис, що складається із власних векторів даного оператора.

Наслідок:Нехай А-квадратна матриця з дійсними елементами, якщо А- симетрична, то існує матриця Т з дійсними коефіцієнтами: Т^-1АТ=D(діагональна).

Лінійний оператор А:L L називається ортогональним якщо для довільних x,yL.(A(x),А(y))=(x,y).

Квадратна матриця з дійсними елементами називається ортогональною, якщо А^T=А^-1

Теорема: Для А:L L (L- евклідовий простір) такі твердження еквівалентні:

1)А-ортогональний.

2)А переводить ортонормований базис в ортонормований.

3)В ортонормованому базисі оператору А відповідає ортогональна матриця.

Дов.

12:Нехай А ортогональний оператор, а Б- ортонормований базис, оскільки А зберігає довжину і кут між векторами, то базис Б переводиться оператором А в ортонормований.

Навпаки: нехай Б=a₁,..., a_n Б^’=b₁,...,b_n=А(a₁),..., А(a_n).

Треба довести,що А ортогональний.

x=₁ a₁ +...+_n a_n; y=₁ a₁ +...+_n a_n.

(x,y)= ₁₁+...+_n_n

(A(x),A(y))=(₁b₁+...+_nb_n, ₁b₁+...+_nb_n)=₁₁+...+_n_n(A(x),A(y))=(x,y)

13

А ортог. коли для довільних x,y, (x,y)=(A(x),A(y)) (x,A^*A(y))  A^*A= A^*=A^-1

A A, A^* A^T, A^-1 A^-1, A^-1=A^*  A^-1=A^T  коли А - ортогональна.

Теорема про побудову ортогонального оператора.

Нехай А - ортогональний оператор. А:L L (L- евклідовий простір), тоді L=L₁... L_k. dim L_i=1 або 2. Якщо dim L_i=1, то А діє на прямій L_i як тотожний оператор або дзеркальне відображення. dimL_i=2, то А діє на площині, як поворот на деякий кут .

Наслідок: Для довільної ортогональної матриці А існує така ортогональна матриця Т:

, де B₁,..., B_kклітини розмірності 1 або 2.

Якщо dimB_i=1, то B_i=I₁. Якщо dimB_i=2, то .

Теорема про будову невиродженого оператора на евклідовому просторі:

Нехай А:L L,А - невироджений, тоді існують такі ортогональний оператор H і самоспряжений F: A=HF.

29.2Сценарний аналіз як методологічна основа передбачення.

Системна методологія передбачення і прогнозування

Практика використання методології передбачення в багатьох країнах базується насамперед на застосуванні інтуїції, досвіду, знань, уміння експертів у різних предметних областях для розв’язування здач стратегічного планування і прийняття рішень. Блискучі приклади передбачення майбутнього демонстрував у своїй діяльності знаменитий Леонардо да Вінчі. Свого часу він краще усіх розумів величезне значення взаємозв’язку між наукою і мистецтвом. Геніальний розум Леонардо породив фантастичні проекти підводних човнів, літаків, велосипедів, ріжучих верстатів і навіть танків. Через кілька століть ці ідеї стали не тільки можливими алей дуже наближеними до реальних.

Сфери застосування методів прогнозування та передбачення і принципові відмінності між ними

Перші спроби одержати об’єктивні знання про майбутнє були пов’язані переважно з розробленням нових і застосуванням традиційних методів математики і статистики. У результаті було створено цілу групу потужних методів, як-от метод часових рядів, методи регресійного аналізу (одновимірного і множинного) , імітаційного моделювання, економетричні моделі тощо. Усі вони належать до так званих методів кількісного прогнозування і їх застосовують для приблизного визначення майбутньої поведінки певної змінної величини або системи взаємопов’язаних змінних величин на зазделегідь відомому часовому інтервалі. Застосування методів прогнозування призводить до описування майбутнього, яке фактично є продовженням або екстраполяцією минулого. Ця обставина суттєво обмежує можливості методів прогнозування. Передусім тому, що ми живемо у світі, де постійно відбуваються якісно нові, не властиві минулому зміни. До них насамперед належать різноманітні зламо – та стрибкоподібні зміни, які пов’язані з розривами монотонності процесів і мають характер суттєво нелінійних явищ. Тому в сучасних умовах все актуальнішим стає нове завдання – репрезентувати майбутнє , яке не можна інтерпретувати як звичайне продовження минулого, оскільки це майбутнє може набувати принципово відмінних форм і структур порівняно з тим, що було відомо в минулому. Зазначена проблема отримала назву передбачення. Слід зазначити, що універсальних і досконалих методів для розв’язання цієї проблеми сьогодні немає. Є лише спроби побудови можливих сценаріїв розвитку тих чи інших явищ у майбутньому. Але принциповою відмінністю від попередньої практики розв’язання таких задач є те, що використовувані для цього методи мають не кількісний, а якісний характер.

Можна вважати, що передбачення – це процес прийняття рішень для складних систем із людським фактором щодо їхньої можливої поведінки в майбутньому. Такий процес зводиться до застосування окремих методів у певній послідовності із встановленням чітко визначених взаємозв’язків між ними. Він формується за допомогою універсальної методології, відомої як сценарний аналіз.

Структурно-логічна схема та основні етапи сценарного аналізу

На першому етапі вивчають проблему та об’єкт передбачення за допомогою методів якісного та кількісного аналізу, після чого якісну та кількісну інформацію зводять до єдиної платформи. Потім визначають послідовність використання окремих методів і встановлюють взаємозв’язки між ними. Це дозволяє далі сформувати цілісний процес передбачення і розробити групу сценаріїв майбутньої поведінки об’єкта передбачення (складної системи з людським фактором). Аналізуючи характеристики та особливості кожного з розроблених сценаріїв , група осіб, що проймають стратегічні рішення, відбирає цікаві для неї сценарії , виробляє план дій щодо об’єкта передбачення і забезпечує реалізацію цього плану. У цій методології для розв’язання задач передбачення відібрано і адаптовано вісім методів якісного та кількісного аналізу. Ці методи використовують на чотирьох етапах передбачення:

1-й етап: попереднє вивчення проблеми;

2-й етап: якісний аналіз проблеми;

3-й етап: написання сценаріїв;

4-й етап: аналіз і вибір сценаріїв.

Наведемо методи якісного та кількісного аналізу, які використовують у процедурі передбачення:

1-й етап

• метод сканування;

• метод мозкового штурму;

2-й етап

• метод Делфі;

• метод перехресного впливу;

• метод аналізу ієрархій (метод Сааті);

• метод морфологічного аналізу;

3-й етап

- метод написання сценаріїв;

4-й етап

- метод моделей Байєса;

- метод імітаційного моделювання.

Попереднє вивчення проблеми з використанням методів сканування і мозкового штурму

Розглянемо два методи, характерні для етапу попереднього вивчення проблеми.

Метод сканування.

Зазвичай цей метод використовують для попереднього вивчення нових проблем, щодо яких відсутній досвід практичного розв’язання. Процедура, покладена в основу методу сканування, полягає в наступному:

1. створення групи експертів – фахівців у широкій галузі, до якої можна віднести досліджувану проблему;

2. кожний експерт повинен «згенерувати » ідею щодо способу розв’язання проблеми або принаймі охарактеризувати можливі підходи до її розв’язання. Думки експертів оформлюють у вигляді анотацій концептуального характеру. На цьому етапі ідеї, сформульовані кожним експертом, не обговорюють. Іноді перевагу надають анонімному способу висловлення і міркувань експертів;

3. ОПР (частина з них може належати до групи експертів) розглядають усі анотації експертів. Мета цього розгляду – кластеризація (поділ на групи) усіх згенерованих експертами ідей і міркувань.;

4. ОПР із усієї множини кластерів відбирають так звані конструктивні кластери, які вивчають і використовують на подальших етапах передбачення.

Метод мозкового штурму.

Цей метод призначений для глибокого та інтенсивного вивчення проблеми у вузьких напрямах, діапазонах чи фокусах ідей і підходів. Процедуру м.м.ш. можна звести до таких кроків:

1. формулювання проблеми в заданому вузькому фокусі (вузька платформа);

2. створення групи експертів – фахівців у вузькій галузі знань відповідно до сформульованої проблеми;

3. за умов обмеженого часу і заданого переліку критеріїв експерти повинні «згенерувати» множину ідей і підходів до розв’язання проблеми для певного діапазону можливих рішень і віднести їх до часової перспективи досліджень. Сформульовані ідеї не обговорюють.;

4. «згенеровані ідеї » поділяють на дві часові групи: ті, які актуальні для майбутнього (наприклад на період не менше 5 років) , і ті , що актуальні у поточний період часу, і тому не використовуються для передбачення;

5. відбирають і задокументовують ті ідеї і підходи до розв’язання проблеми, що використовуватимуться на подальших етапах передбачення. Такий відбір може здійснювати інша група людей, відповідальних за прийняття рішень. Ця група також задає перелік критеріїв, з урахуванням яких експерти повинні «згенерувати» свої ідеї.

Методи якісного аналізу в задачах передбачення

На другому етапі використовують використовують іншу групу методів: метод Делфі, метод перехресного впливу, метод Сааті (МАІ), метод морфологічного аналізу.

Метод Делфі (у вітчизняній літературі – метод експертних оцінок).

Головна ідея методу : необхідність одержання висновку групи експертів про поведінку в майбутньому однієї чи кількох пов’язаних між собою характеристик досліджуваної системи. Отримані результати використовують для побудови можливих сценаріїв її поведінки. Для цього на першому етапі розробляють так звані опитувальні форми. Їх використовують для збирання оптимальних оцінок значень досліджуваних характеристик, запропонованих експертами. Метод Делфі зводиться до виконання таких дій:

1. підбір групи експертів відповідно до характеру і теми досліджуваної проблеми;

2. формування мети, якої потрібно досягти завдяки вирішенню проблеми;

3. розроблення опитувальної форми для сформованої групи експертів;

4. опитування експертів відповідно до розробленої форми;

5. статистична обробка даних опитування для синтезу нових результатів;

6. аналіз кожним експертом отриманих результатів і надання йому можливості врахувати відповіді та висновки усієї групи;

7. на випадок, якщо деякі експерти корегують свої відповіді , після пункту 6) виконують повторну обробку даних опитування згідно із пунктом 5);

8. дії зазначені в п. 5), 6), 7), виконують доти, поки експерти не припинять корегувати свої відповіді. Одержаний результат вважають консенсусним.

Консенсусне рішення експерти аналізують додатково для його інтерпретації і розроблення сценаріїв розвитку досліджуваної системи.

Екзаменаційний білет № 30

30.1Зведення квадратичних форм до канонiчного вигляду.

О. Нехай L -лін. пр-р над полем R. Відображення f:LLR наз. білінійною функцією, якщо при фіксованому другому елементі f - лін. по першому, і навпаки; та виконуються:

1. f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z)

2. f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z)

3. f(x,y)=f(x,y)=f(x,y)

Припустимо, що пр-р - скінченно-вимірний і зафіксуємо базис Б:а₁...а_n.

Візьмемо х=х₁а₁+...+х_na_n

y=y₁a₁+...+y_na_n

f(x,y)=f(x₁a₁+...+xnan, y₁a₁+...+ynan)= x_iy_jf(a_i,a_j),

f(a_i,a_j)=a_ij

f(x,y)= a_ij x_i y_j - білінійна форма.

A=(a_ij) - матриця білін. ф-ції f в базисі Б.

О. Білін. ф-ція f(x,y) наз. симетричною, якщо f(x,y)=f(y,x) x,y.

О. f(x,x)= a_ij x_i x_j - квадратична форма одержана з симетричної білін. форми.

Матриця квадратичної форми - це матриця відповідної симетр. білін.форми у відповідному базисі. n

О. Квадратична форма b_ij y_i iy_j наз. канонічною, якщо є сумою

b₁₁y₁² + ... +b_nny_n², b^ij=0 при ij

Задача зведення полягає у тому, щоб за базисом Б знайти новий базис Б` такий, що дана квадратична форма в цьому базисі - канонічна.

Б`: b₁ . . .b_n .

Задача може бути переформульована: за симетричною матрицею А знайти невироджену матрицю F:

F^ТAF=B - діагональна,

F - матриця переходу до нового базису.

Нехай маємо 2 базиси:

Б: а₁ ... а_n  x=(x_{1 ...} x_n) Б^FБ`

Б`: b<sub>1</sub> ... b<sub>n</sub>  x=(x<sub>1`</sub> ...x_n`)

b₁=₁₁a₁+ ... +_n1a_n;

F=(_ij) ....

b_n=_1na₁+ ... +_nna_n;

(x_i`)=F(x_i)

Метод Лагранжа.

В базисі Б: а₁ . . .а_n квадратична функція f(x) задається квадратичною формою

а_ij x_i x_j=a₁₁x₁² + . . .+a_nnx_n² + a_ij x_i x_j = a₁₁x₁² +2a₁₂x₁x₂ + . . .+2a_1nx₁x_n + g(x₂ . . .x_n)

Припустимо, що а₁₁0 , тоді

f(x)=1/a₁₁ ((a₁₁x₁²) + 2a₁₂a₁₁x₁x₂ + . . . + 2a_1na₁₁x₁x_n)+g(x₂ . . .x_n)

З першої дужки виділимо повний квадрат:

(а₁₁х₁)² + . . .+2a_1na₁₁x₁x_n=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+ . . .+a_1nx_n)²- t(x₂ . . .x_n)

f(x)=1/a₁₁(a₁₁x1+ . . .+a_1nx_n)²+c(x₂ . . .x_n)

y₁=a₁₁x₁+ . . .+a_1nx_n

y_i=x_i, i=2, . . . ,n

H - невироджена, H^-1=F- матриця переходу до нового базису.

x = (y₁ . . .y_n)

Б` 2

f(x) = (1/a11)y1 +c(y2 . . .yn)

Б`

Ті самі міркування проводимо n разів .Якщо а11=0 , але аii0 ,тоді те ж

саме відносно змінної хi.

Якщо ж аii=0 , i=1, . . . ,n ,то змнюючи нумерацію будемо вважати що . Покладемо

х1=y1+y2

x2=y1-y2

x3=y3

. . .

xn=yn

Розглянемо матр. цієї зміни зміних

, бачимо, що матр. - не вироджена, тому від базису Б до Б’ можна перейти за допомогою цієї матр. Тоді якщо в. в Б то в Б’

Будемо вважати , що а₁₂0 , тоді в новому базисі

f(x)=2a₁₂x₁x₂ + . . . +2a_1nx₁x_n + . . .=2a₁₂(y₁+y₂)(y₁-y₂)+2a₁₃(y₁+y₂)y₃+ . . .=

=2a₁₂y₁² - 2a₁₂y₂² +h(y₁ . . .y_n)

Маємо перший випадок.Серед коеф. При квадратах є відмінні від 0. Отже, можна застосовувати виділення квадратів.

Теорема Якобі.

Якщо головні мінори 1 . . . n матриці квадратичної форми0 , то новий базис , в якому ця квадратична форма має вигляд

(1/1)y₁² + (1/2)y₂² + . . . +(n-1/n)y_n²

30.2Метод аналізу ієрархій.

В оригіналі англійською мовою назва методу Analytic Hierarchy Process. МАІ – це систематична процедура, що ґрунтується на ієрархічному представлені елементів, які визначають суть проблеми. Проблема піддається декомпозиції на простіші складові з наступним оцінюванням децидентом відносного ступеня взаємодії елементів отриманої ієрархічної структури. МАІ будується на принципі ідентичності та декомпозиції, що передбачає структурування проблем у вигляді ієрархії або мережі і включає процедури синтезу множинних тверджень, отримання пріоритетності критеріїв та знаходження альтернативних рішень.

Загальна послідовність етапів МАІ

Загальна послідовність етапів МАІ є наступною.

1. Сформулюйте проблему, яку потрібно розв’язати.

2. Здійсніть постановку проблеми в загальному плані – включіть її (якщо є необхідність) у велику систему, що включає інших зацікавлених дійових осіб (акторів), розгляньте їх цілі і бажані результати.

3. Ідентифікуйте критерії, за якими оцінюватиметься якість розв’язання проблеми.

4. Побудуйте ієрархію спільних критеріїв, окремих критеріїв, властивостей альтернатив і самих альтернатив.

5. Встановіть пріоритети первинних критеріїв (сил) щодо їх впливу на генеральну мету (фокус – згідно з термінологією Т. Сааті).

6. Чітко сформулюйте питання для попарних порівнянь в кожній матриці.

7. Встановіть пріоритети часткових критеріїв щодо своїх загальних критеріїв. Зберіть результати попарних порівнянь.

8. Опрацюйте зібрані дані згідно з алгоритмом МАІ для обчислення глобальних пріоритетів та глобальної узгодженості результатів.

9. У разі вибору серед альтернатив виберіть альтернативу з найбільшим значенням глобального пріоритету. У завданні визначення пріоритетів вартості розподіліть ресурси пропорційно пріоритетам.

У МАІ використовуються три методи порівняння альтернатив: попарне порівняння, порівняння альтернатив щодо стандартів і порівняння альтернатив копіюванням. Останні два методи використовуються у тому випадку, коли з тих чи інших причин відсутні оцінки деяких альтернатив за деякими критеріями.